6. Mavzu chiziqli kichik tebranishlar

Tayanch so’z va iboralar: kichik tebranishlar, erkin tebranishlar, garmonik ossilator, chiziqli tebranishlar, tebranish chastotasi, siklik chastota, tebranish amplitudasi, tebranish fazasi, boshlang‘ich faza, majburiy tebranishlar, rezonans, dissipativ funksiya, mustaqil tebranishlar soni, kuchsiz nochiziqli tebranishlar, yugori garmonika, kombinatsion chastotalar.

1. 
   Bir o’lchamli erkin tebranishlar.
   

Tebranishli harakat qilishi mumkin bo'lgan fizik sistemalarning soni ko'p. Bu sistemalar bir-biridan qancha farq qilishidan qat’i nazar ularda ro'y beradigan kichik tebranishlar deb atalgan tebranishlar juda keng tarqalgan bo’lib, ulaming matematik nazariyasi hamma sistemalar uchun ham bir xildir.

Aytaylik bizga ma’lum bir potensial maydon U(q) da harakat qilayotgan erkinlik darajasi birga teng bo‘lgan bir fizik sistema berilgan bo'lsin. U (q) potensial


maydon q ₀ nuqtada minimumga ega bo'lsin, ya’ni


U'(qo) = 0, U"(qo) > 0 (6.1)

bo'lsin. Agar potensial energiyani shu nuqta atrofida qatorga yoyib qatorning faqatgina kvadratik hadigina qoldirilsa

U(q) = U(qo ) + 1(q - qo )² U'(q,) +.... (6.2)

formulaga ega bo'lamiz. Kichik tebranishlar yaqinlashuvi mana shu yaqinlashuvga mos keladi. Qulaylik uchun q - q₀ = x deb belgilaylik. Kinetik energiyani ham shu yaqinlashuvda olinadi:

„ 1 _ ₉ 1 „ ₄

^T = - ^a(q)q =- ^mx (6.3)

(a(q) = m m deb olindi). Natijada sistemaning Lagranj funksiyasi.

L = ^mX² -^ kx² (6.4)

Bundan harakat tenglamasini topish qiyin emas:

mX + kx = 0 (6.5)



Bunday tenglama erkin tebranishlar tenglamasi deyiladi. Ko’p hollarda uni garmonik ossilator tenglamasi ham deyiladi. Ko‘pincha uni


k


x + aa x = 0, a =


(6.6)


V m

ko‘rinishga keltirib olish qulaydir. Bundan kichik tebranishlarning ((6.2) va (6.4)-
yaqinlashuvlarda harakat tenglamasi chiziqli tenglama bo'lishini anglatadi. Shu
sababdan kichik tebranishlar ko‘pincha chiziqli tebranishlar ham deyiladi. Bu
tenglamaning umumiy yechimi

x(t) = q cosat + c₂ sinat (6.7)

ko'rinishga ega. Ko‘rinib turibdiki, vaqt At = 2я/ю qiymatga o‘zgarganda yechim
o‘zining eski qiymatiga qaytib keladi:

x(t + At) = x(t) (6.8)

demak, (6.4) ko‘rinishdagi Lagranj funksiyasiga ega bo‘lgan sistema a/2^chastota
bilan garmonik tebranishli harakat qilayotgan sistema ekan. Odatda, a/2л = v
kattalikni tebranish chastotasi, a ni esa siklik chastota deyiladi.

Yuqoridagi ifodalar -x(0) = x₀, x(0) = v₀ boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirishi
kerak. Ulardan, noma’lum q,qlar mana shu boshlang’ich holat x₀va boshlang‘ich
tezlik v₀ orqali ifodalanadi:


„ ^v