6. Mavzu chiziqli kichik tebranishlar

^C1 ^x0, ^C2

a


(6.9)


Natijada (6.7) ifoda:

x(t) = x₀ cosat + — sin at (6.10)

a

ko’rinishida ifodalanadi. Uni yanada qulayroq ko’rinishda ifodalash mumkin. Buning
uchun q = acosa, q = asma almashtirishlarni bajaramiz, undan

x(t) = a cos(at + a) (6.11)

formula olinadi. Paydo bo‘lgan a - tebranish amplitudasi, at + a- tebranish fazasi

va a - boshlang‘ich faza deyiladi. Tebranish energiyasini topaylik:

^{QL m} , л 9 9 „ ¹ ??

E = x L = (x + ax) = — ma a

dx 2 2


(6.12)

2. 
   Majburiy tebranishlar
   

Turg‘un muvozanat holati atrofida kichik tebranish bilan harakat qilayotgan jismga tashqi kuch ta’sir qilayotgan bo’lsin. Bunday masala majburiy tebranishlar masalasi deyiladi. Albatta, tashqi kuchni ham kichik deb qarash kerak, aksincha, uning ta’siri ostida tebranish amplitudasi katta bo‘lib ketishi, va shunga ko‘ra, kichik tebranish yaqinlashuvdan chiqib ketish mumkin.

Masalani aniqroq tushinish uchun ko‘z oldimizga Yer tortishish maydonida kichik tebranayotgan zaryadlangan mayatnikni keltirishimiz mumkin. Shu mayatnikka tashqi (kuchli bo‘lmagan) elektr maydoni ta’sir qilayotgan bo‘lsin (bir oMchamli sistemalar haqida gap ketar ekan, ushbu elektr maydoni ham q o‘qi bo‘ylab yo'nalgan bo‘lishi kerak). Tushunarliki, bu tashqi kuch ta’sirida mayatnikning tebra- nishlari ham o‘zgaradi. Tashqi kuch umumiy holda vaqtga bog‘liq bo‘lishi mumkin (yuqoridagi misolda elektr maydon o‘zgaruvchan bo‘lishi





mumkin). Kuchning kelib chiqishini tashqi potensial maydon bilan bog‘laylik. Shu potensial maydonni qatorga yoyaylik:

U_e (X, t) = U_e (0, Z) + ^xU'_e (0, t) + (6.13)

Chiziqli yaqinlashuvga mos kelish uchun tashqi potensialning yoyilmasida x bo‘yicha chiziqli hadnigina qoldirildi. Umumiy ta’rif bo‘yicha -dU/8x ifoda kuchni bildirar edi, shu sababdan U'_e(0, t) = F(t) tashqi kuchga mos keladi. (6.13) dagi birinchi had faqat vaqtning funksiyasi bo’lgani uchun Lagranj funksiyasidan uni tashlab yuboramiz. Natijada sistemaning Lagranj funksiyasi

1 1

L = — mx² — — kX + xF(t) (6.14)

ko‘rinishga ega bo‘ladi. Harakat tenglamasini yozib olamiz:

mxc² + kx² = F (t) (6.15)

yoki

x + CD² x = ^-) (6.16)

m

Odatda birjinsli bo’lmagan doimiy koeffisentli differensial tenglamalarni umumiy echimi ikki ifodaning yig’indisi ko’rinishida olinadi x = x₀ + x₁ bu


tebranishlarni


(6.17)
integralini
y²)]cos(X + P),


(6.18)


erdax₀ birjinsli tenglamaning umumiy echimi, -birjinsli bo’lmagan tenglamaning

hususiy integrali. Bunda x₀ oldinga bobda ko’rib o’tilgan erkin
bildiradi.

Aytaylik majburiy kuch chastotasi у bo’lgan davriy funksiyasi

F (t) = f cos(yt + P)

bo’lsin, unda (6.16) tenglamani hususiy

x₁ = b cos(yt + P)ko’rinishda ahtaramiz. Undan b = f/[m(®²
birjinsli tenglamaning umumiy echimi ko'shib umumiy integralni

Z X f

x = a cos(®t + a) + — cos(yt + p)

m(D — у )

a va a doimiylar boshlangich shartlardan topiladi. Bundan ko’rinadiki majburiy tebranish bajarayotgan sistema ikkita tebnahish chastotasi ® hususiy bo’lgan va chastotasi у bo’lgan majburiy kuch tebranishidan iborat ekan.

(6.18) ifodani rezonans holatiga (hususiy chastotani majburiy kuch chastotasiga ustma ust tushishi) qo’llab bo’lmaydi, uning uchun uni mos holdagi doimiylarni qaytadan belgilab qoyidagi ifodani olamiz

f

x = a cos(®t + a) + -—- — [cos(yt + p) — cos(a>t + P)]

у ^ d bo’lganida ikkincjhi had 0/Onoaniqlikni beradi. Lopital qoidasiga muvofiq z x f

x = a cos(®t + a) + 1 sin( ®t + P)

2m®

ifodani olamiz. Bundan ko’rinadiki rezonans holadida tebranishlar amplidudasi vaqt chiziqli bo’lgan holatda oshib boradi.

3.