6. Mavzu chiziqli kichik tebranishlar

Nochiziqli tebranishlar.


Aytaylik bizga Lagranj funksiyasiga ega bo‘lgan sistema berilgan bo’lsin:


L =


mx² kx² m.p ₄

x

2 2 4


(6.44)


Chiziqli tebranishlardan bu holi o‘zining oxirgi hadi bilan farq qiladi. Paydo bo'lgan parameter p > 0 ni kichik deb faraz qilamiz, bu mana shu oxirgi hadni potensial energiyaga tuzatma deb qarab masalani yechishga g‘alayonlanish nazariyasi orqali yondashish imkoniyatini beradi. Bu gaplarimizni quyidagicha ifodalaylik:

U = U0 +&J; U0 = ^SU = ^m£x*;\&j\ «|U0 (6.45)


Bunday holni, odatda, kuchsiz nochiziqli tebranishlar deyiladi. Harakat tenglamasini yozib olaylik:

x + op x = -px³ (6.46)

Bu - nochiziqli tenglama bo‘lib uni qandaydir yaqinlashuv usuli bilan yechish kerak. To‘liq yechimni

x = x₀ + 3x = x₀ + px_x + p² x₂ +.... (6.47)

ko‘rinishda qidirish tabiiy bo‘lib ko‘rinadi. Bu holda tenglama

^{2 2 2 2} _v A . _ _ Rv³ _ 3 R^{2 2}

I C/Jq I pj(^Vj I (Oq ^Vj ) I pj (^^2 I C^q ^^2) + ... pxx^ 3pj ^x ... (6.48)


ko‘rinishga keladi. Hosil bo‘lgan tenglamaning chap va o‘ng tomonlaridagi p


bo’yicha bir xil tartibdagi hadlarini bir-biriga tenglashtirish kerak:
x₀ + (00 x^ = 0;

у + op x_x =- x₀³;

Bu qatordagi birinchi tenglama

x₀ + (00 x₀ = 0

ning yechimi

x₀ = a coSp t + ^>).


(6.49)

(6.50)

(6.51)


Ko‘rinib turibdiki, x₀ni ikkinchi tenglamaga qo'yib, undan x_rni topish


mumkin, x ni bilgandan keyin qatordagi uchinchi tenglamadan x ni topish


mumkin va h.k. Bunday yondashishning asosida masalada kichik parametr p borligi yotadi, yuqoridagi fikr masalani shu parametr bo‘yicha ketma-ket


yaqinlashuv metodi bilan yechmoqchi bo‘lishimizni bildiradi.





Fikrimiz sodda va, odatda, matematikaning ko'pgina sohalarida keng qo’llanadigan bo‘lishiga qaramasdan, bizning holimizda u bir jiddiy muammoga olib keladi. Shu muammoni yechish nochiziqli tebranishlar sohasida standart bo‘lib qolgan umumiy metodga olib keladi.

Muammoni ko‘rish uchun (6.49) ning ikkinchi tenglamasini olaylik: