6. Mavzu chiziqli kichik tebranishlar

Download 40,74 Kb. bet 5/7 Sana 31.12.2021 Hajmi 40,74 Kb. #241627

Bog'liq
6. mavzu. CHiziqli kichik tebranishlar вщспобасбпосюлсопсрпчраьчтпвсямччтпи

x = v1 exp(-/1) bo‘ladi, bu funksiyaning grafigi 6.1-d rasmda ko'rsatilgan. Ishqalanish bor bo'lgani uchun energiyaning saqlanmaydi tenglamani mx ga ko'paytirib uni

^~(~mx2 malx2 j — -2/mx2 (6.27)

ko'rinishga keltirib olinadi. Bu munosabat esa (6.12) ni ko‘zda tutgan holda ossillator tomonidan energiya yo‘qotish tezligi uchun


d^E = -^ax² (6.28)


formulani beradi. Fizik sistemaning energiya yo‘qotishi muhim tushuncha bo‘lgani uchun uni dissipativ funksiya deyiladigan va

F = 1 ax² (6.29)


ko‘rinishga ega bo‘lgan funksiya orqali ifodalash qabul qilingan. Bu holda awalgi tenglama

^d,^E = -^2F (6.30)

d1


ko‘rinishni oladi. Ya’ni, dissipativ funksiya sistemaning vaqt birligi ichidagi energiyasining dissipatsiyasini bildirar ekan. Bu holda (6.20) harakat tenglamasini


d dL dL dF

—
d1 die die die


(6.31)


ko‘rinishda ham yozib olish mumkin.

Odatda, energiya yo‘qotishining bir «davr» T — 2л/a₀ ichidagi o'rtacha qiymati


qiziqarli bo‘ladi. Bu kattalikni hisoblash uchun birinchi holga murojaat qilinadi va/ « a (ishqalanish juda kichik) deb olinadi.


Bu holda x(1) — ae ^-’ sin(a₀1 + p) va — — -ax^г — -aa² ae sin(a1 + p) bo'ladi. ⁰ d1

Quyidagi kattalik ishqalanish quvvati deyiladi:

²V^a0 2 2 ²d^a0 2 3

„ aa <• , dE aa ca r , . aa a_n

P — ^a I d1 — = ⁰- I die^2/ sin(a 1 + p) — e^2/1 (6.32)

2л ' d1 2л ' 2л

Integralning qiymati T — 2^a davr ichida energiyaning o‘zgarishiga teng, uniF ga


bo‘linsa, bir davr ichidagi yo‘qotilgan energiya kelib chiqadi. Integralni hisoblaganda/ « a₀ ni hisobga olib integral ostidan exp(- 2/) ni chiqarib tashladik



Ko‘rilayotgan yaqinlashuvda energiya uchun ^E = ^ma °o^{e X} ifoda

olinadi((6.12) formulada amplitudani a ^ a^гe ^-2yt ga almashtirish yetarli).

Yana bir marta ta’kidlab ketaylik, ossillatorning energiyasi sifatida (6.12) ifoda qaraladi, (6.69) ifoda energiya yo'qotish tezligiga tegishlidir. Bundan foydalanib muhim bo‘lgan o’lchamsiz bir kattalik kiritaylik:

Q -^^p^^ = p (6.33)

Uining nomi asillik, ossillator energiyasining bir davr ichida ishqalanish orqali yo‘qotilgan energiyaga nisbati (chastotaga ko‘paytirilgan holda) — so‘nuvchi tebranishlarning qay darajada uzoq davom etishini Xarakterlaydigan kattalik.

4. 
   So’nish bor vaqtdagi majburiy tebranishlar.
   

Ishqalanish kuchi ta’sir qilayotgan muhitda tebranayotgan sistemaga tashqi kuch ta’sir qilayotgan bo‘lsin. Tashqi kuch davriy xarakterga ega bo‘lgan hoi eng qiziq bo‘lgani uchun shu holni ko‘rib chiqaylik:

f

x + 22x + P2 x = — cos(yt) (6.34)

m

Tashqi kuchning ko‘rinishi shunday tanlab olindiki, u t = 0 vaqt momentida noldan boshlab ishga tushsin. Tenglamaga o'zgarmaslarni variatsiyalash metodini qo‘llaymiz. Bir jinsli tenglamaning yechimi


2 2 2

x (t) = c_te'' '' "’ -’+ c₂e """ -’ (6.35)

bolsa, o‘zgarmaslarni variatsiyalash metodi (6.34) ning yechimini quyidagi ko‘rinishda beradi:


f 2y2sin(yt) - (y² - o)cos(y/)


(6.36)


x(t t) = x₀(t) +
m (y - o₀') + 4y 2

Shu yechimning xossalarini tahlil qilaylik. Gap tebranishlar haqida ketayotgan
ekan 2 < p deb olamiz. Bir jinsli tenglamaning yechimi so‘nish bor bo‘lgani uchun
vaqt o'tishi bilan nolga intilib ketadi: x₀ (t) ^ 0, t >/. Haqiqatda, albatta, t
cheksizlikka intilishi shart emas, x₀ ni tashlab yuborish uchun 2t kattaroq son bo'lishi
yetarlidir. Demak, ma’lum bir vaqt o‘tganidan keyin yechim sifatida funksiyani olish
mumkin. Tebranishning so‘nmaydigan qismi tashqi kuchdan olib turilgan energiya
hisobiga mavjud bo‘ladi. Agarda

y2
sin 5 = —, =


(-у ² +®0²)

⁰ va h = y

²-®²)² + 4y


,cos5 = -

№-•№ + 4y²2²

deb belgilab olinsa (sin² 5 + cos² 5 = 1 ekanligini tekshirish qiyin emas) topilgan yechimni


-o ) + 4y²2^{2 (6.37)}


x(t) = h cos(y + 5) (6.38)

ko'rinishda yozib olish mumkin. Bizni eng qiziqtiradigan hol tashqi chastota 2 sistemaning xususiy chastotasi o₀ ga yaqin bo'lgan holdir. Ishqalanish kuchi bo‘lmagan holda tebranishlar amplitudasi cheksiz o‘sa boshlar edi



x(t) = a cos(at + a) +

Л

2m a

t sin(at + /1) -

1
a sin


/3 sin(at)


(6.38) dan ko‘rinib turibdiki, tebranish amplitudasi hamma vaqt cheklangan va uning maksimal qiymati h ga tengdir h uchun ifoda esa у ^ ®₀ bo'lganda ham chekliligicha


qoladi.

5. 
   Molekulalarning tebranishlari
   

Molekulalarning to’liq nazariyasi kvant nazariyasi bo‘lishi kerak, ammo, kichik tebranishlar haqida gap ketganda klassik tahlildan kelib chiqqan natijalar kvant natijalar bilan bir xil bo‘lib chiqadi.

Kichik tebranishlar nuqtayi nazaridan n ta atomli molekula - o‘zaro prujinalar bilan bog‘langan massalari m,m ,•••, m bo‘lgan moddiy nuqtalar sistemasidir.

Molekula o‘zaro ta’sirda bo‘lgan atomlarning yopiq sistemasidir. Bunday sistemaga uch xil harakat hosdir - butunligicha ilgarilanma harakat, butunlikcha aylanma harakat va atomlarning bir-biriga nisbatan tebranishi. Butunlikcha ilgarilanma va butunlikcha aylanma harakatlarni chiqarib tashlash kerak. Ishni bosqichlarga bo‘laylik:

1. 
   Butunlikcha ilgarilanma harakatni chiqarib tashlash uchun molekulaning to‘liq impulsini nolga tenglashtirish kerak:
   

^P = 2 ^ma^va = ⁰ (6.39)

a

Bu degani molekulaning inersiya markazi sistemasiga o'tildi degani:

Har bir atomning radius-vektori r_a = r_M + d₀ ko‘rinishda olinsin, bu yerda r_a0 + d₀ atomning muvozanat holati, d₀ esa muvozanatdan chetlashish vektori. Tashqi maydonda bo‘lmagan sistemaning inersiya markazi o‘z-o‘zidan o‘zgarishi mumkin emas, shuning uchun

^R = 2 ^тГ = 2 ^та^Га 0 = ^COnSt (6.40)

a a

Demak,

2 ^ma^da = ⁰ (6.41)

a

bo‘lishi kerak.

2. 
   Molekulaning butunlikcha aylanishini chiqarib tashlash uchun uning to‘liq harakat miqdori momentini nolga tenglashtirishi kerak. Kichik tebranishlar haqida gap ketayotganini hisobga olib birinchi tartibli kichik sonlar yaqinlashuvida
   

^M =2 ^ma \?a^Va ^]=2 ^ma Va 0 ^da ^] = ^d 2 ^ Va 0 ^da ^] = ⁰ (6.42)

a a ^dt a

deb olish mumkin. Hosila ostidagi kattalik o‘zgarmas songa teng, d_a laming nolga teng bo'lganida ham u o‘sha son bo'lishi kerak bo‘lgani uchun

2 ^ma \^ra0 ^da ^]= ⁰ (6.43)

deb olish kerak.

Olingan shu ikkita tenglamalar sistemasini yechib normal koordinatlarni topish mumkin. Tebranishlarga mos keluvchi erkinlik darajalari sonini, ya’ni, mustaqil tebranishlar sonini topaylik. n ta atomdan iborat molekulaning 3 n ta erkinlik darajasi



bor. Yuqoridagi ikkita vektor shartlarning soni 6 taga teng.

Demak, n atomli molekulaning tebranish erkinlik darajalari umumiy holda 3n - 6 ta ekan. Agar atomlar bir to‘g‘ri chiziqda joylashgan bo'lsa, bu o‘q atrofida aylanish haqida gapirishning ma’nosi yo‘q, demak, bu holda tebranish erkinlik darajalari soni 3n - 5 ga teng.

Masalan, CO2 molekulasining tebranishlari soni 3 • 2 - 5 = 1ga teng. H2O molekulasining esa mustaqil tebranishlari soni 3 • 3 - 6 = 3 ga teng.

6. 
   
   
   Download 40,74 Kb.
   
   Do'stlaringiz bilan baham: