6 Mavzu: aniq integrallar ularni hisoblash reja: Аниқ интегралларни ҳисоблаш. Ньютон- лейбниц форму-ласи

6 Mavzu: ANIQ INTEGRALLAR ULARNI HISOBLASH
Reja:


1. Аниқ интегралларни ҳисоблаш. Ньютон-
Лейбниц форму-ласи


2. Аниқ интегралнинг хоссалари. Ўрта
қиймат ҳақидаги теоремалар


3. Аниқ интегрални тақрибий ҳисоблаш


4.Аниқ интеграл ёрдамида функция
лимитларини ҳамда Функциянинг ўрта
қийматини ҳисоблаш


Aniq integral va uning xossalari. Aniq integralni hisoblash usullari


_{ } kesmada f(x) funksiya aniqlangan bo’lsin. _{ } kesmani _{ } nuqtalar bilan n ta bo’lakka ajratamiz. Har bir _{ } kesmadan ixtiyoriy _{ } nuqta olib

yig’indini tuzamiz. Bunda _{ }

ko’rinishidagi yig’indi integral yig’indi deyiladi. Uning max _{ } dagi limiti mavjud va chekli bo’lsa, unga f(x) funksiyaning a dan b gacha aniq integrali deyiladi va u

ko’rinishida yoziladi.
Bu holda f(x) funksiya _{ } kesmada integrallanuvchi deyiladi. f(x) funksiyaning integrallanuvchi bo’lishi uchun u _{ } kesmada uzluksiz bo’lishi yoki chekli sondagi uzilishlarga ega bo’lishi kifoyadir.
Aniq integral quyidagi bir qator xossalarga ega:
1. _{ };
_{ }._{ }, agar _{ } bo’lsa;
_{   };
_{ }. _{ 
 } Agar _{ } kesmada _{ } va integrallanuvchi bo’lsa, u holda
_{ } tengsizlik o’rinli bo’ladi;
6. Agar _{ } kesmada _{ } va _{ } funksiyalar integrallanuvchi hamda _{ } bo’lsa, u holda ularning aniq integrallari uchun _{ } tengsizlik o’rinli bo’ladi.
_{ } Agar _{ } va f(x) funksiya _{ }, _{ } kesmalarda integrallanuvchi bo’lsa, unda_{ } kesmada ham integrallanuvchi va _{ } tenglik o’rinli bo’ladi.
_{ } Agar_{ } kesmada (a  tengsizlik o’rinli bo’ladi;
_{ } Agar _{ } funksiya _{ } kesmada integrallanuvchi bo’lsa, u holda f(x) funksiya ham bu kesmada integrallanuvchi va quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi: _{ }
10. Agar f(x) funksiya _{ } kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda bu kesmada shunday 𝜉 nuqta mavjud bo’ladiki, unda
_{ }
tenglik o’rinli bo’ladi.
Agar F(x) uzluksiz f(x) funksiyaning biror boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglik aniq integralni hisoblashning Nyuton-Leybnis formulasi deyiladi.
Ba’zi aniq integrallarni hisoblashda bo’laklab integrallash formulasi deb ataluvchi

formuladan foydalaniladi.
Berilgan uzluksiz _{ } funkisiyadan _{ } kesma bo’yicha olingan

aniq integiralni ba’zi hollarda biror _{ } differensiallanuvchi funksiya orqali “eski” x o’zgaruvchidan “yangi” t o’zgaruchiga o’tish usulida foydalanib hisoblash mumkin bo’ladi. Bunda quyidagi shartlar qo’yiladi:
1. _{ }(_{   }
2. _{ }(t) va_{ }funksiyalar t_{ }[_{ }] kesmada uzluksiz:
3. _{ }[_{ } murakkab funksiya [_{ } kesmada aniqlangan va uzluksiz.
Bu shartlarda ushbu formula o’rinli bo’ladi:

Bu formula aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi.