6 -7 Ma’ruza. Chiziqli va kasr chiziqli funksiyalar chiziqli funksiya

5.Yuqori yarim tekislikni birlik doiraga akslantirish.
Yuqori yarim tekislikdagi biror  sonni obrazi W=0 bo’lsin. Oxo’qiga nisbatan  va sonlar simmetrik bo’lganligi uchun kasr chiziqli akslantirish natijasida  ni obrazi ga aylanaga nisbatan simmetrik bo’lgan nuqtaga o’tishi kerak. Shuning uchun kasr-chiziqli akslantirish quyidagi shaklda bo’lishi kerak.

bu yerda k o’zgarmas koeffitsientni topamiz. Ox o’qi |w|=1 aylanaga akslanadi deb qaralsin, z=x, z-=x-=x-(a+ib) = (x-a)-bi
z- =(x-a)+bi bo’ladi.
Bu yerdan ko’rinadiki,

ya’ni |k|=1 ekan. Shuning uchun k ni quyidagicha yozish mumkin: , bunda  - o’zgarmas son. Shunday qilib, yuqori yarim tekislikni birlik doiraga akslantiruvchi kasr chiziqli funksiya ushbu
(11)
ko’rinishga egadir.

6.Yuqori yarim tekislikni o’z-o’ziga akslantirish

Ox o’qidan  3 ta nuqtalarni olib, ularni mos ravishda w₁=0, w₂=1, w₃= nuqtalarga mos qo’yamiz.
(*)
da bo’ladi.
ni (*) ga olib borib qo’ysak,

formulaga olib borib qo’yamiz. Demak,

tenglikni hosil qilamiz. Demak, yuqori yarim tekislikni yuqori yarim tekislikka akslantiruvchi kasr chiziqli akslantirish



shaklda bo’lib, (bunda A,B,C,D lar – haqiqiy sonlar) bu akslantirish yuqori yarim tekislikni yuqori yarim tekislikka akslantirar ekan.

7.Doirani uz-uzga aks ettirish

doiradagi birorta  nuqta w=0 nuqtaga utsin.|z|=1 aylanaga nisbatan  nuqtaga simmetrik bo’lgan nuqta bo’lganligi uchun nuqta W= nuqtaga o’tishi kerak. Shuning uchun kasr chiziqli akslantirish quyidagi shaklda bo’lishi kerak.
, bunda k’=-k
|z|=1 aylana |w|=1 aylanaga utadi deb hisoblasak,
bo’ladi.
ekanligini e’tiborga olsak,

bundan, |k’|=1 ekanini hosil qilamiz. Shuning uchun , bunda  o’zgarmas son. Demak,
ekan.