6 -7 Ma’ruza. Chiziqli va kasr chiziqli funksiyalar chiziqli funksiya

3. Doiraviylik xossasi
Teorema-1. Ixtiyoriy kasr-chiziqli akslantirish dagi ixtiyoriy aylana yoki to’g’ri chiziqni dagi aylana yoki to’g’ri chiziqqa akslantiradi.
Isbot: s=0 bo’lganda chiziqli akslantirish uchun teorema isbot. Agar s0 bo’lsa u holda
(4)
kasr-chiziqli funksiyaning o’nga ekvivalent bo’lgan bir nechta funksiya bilan almashtiramiz
(*)
chunki

bunda

(*) da birinchi, uchinchi hollarda aylana yoki to’g’ri chiziq, aylana yoki to’g’ri chiziqqa utadi.

uchun isbotlaymiz
Soddalik uchun
(5)
deb belgilaymiz.
Ma’lumki, R² tekislikda
E(x²+y²)+2Bx+2Cy+D=0 (6)
tenglama aylanani, agar E=0 bo’lsa, to’g’ri chiziqni ifodalaydi.
Agar

bo’lishini e’tiborga olsak, u holda (6) tenglik
(7)
ko’rinishga keladi, bunda F=B+iC
(7) aylananing obrazini hosil qilish uchun (5)da deb (7) ga qo’ysak,
(8)
Bu (8) tenglama ham da aylana yoki to’g’ri chiziqni ifodalaydi.
Ta’rif: Agar z va z^* nuqtalar G={zC_z:|z-z₀|=r}
aylana markazidan chiqkan bitta nurda yotib, bu nuqtalardan aylana markazigacha bo’lgan masofalar ko’paytmasi aylana radiusi kvadratiga teng bo’lsa, z va z^* nuqtalar G aylanaga nisbatan simmetrik nuqtalar deyiladi.

Ravshanki bu holda
arg(z^*-z₀)=arg(z-z₀)
|z^*-z₀| |z-z₀|=r²
bo’lib,

bo’ladi.
Teorema-2: Ixtiyoriy kasr-chiziqli akslantirish dagi ixtiyoriy G aylanaga nisbatan simmetrik z va z^* nuqtalarni shu aylananing obraziga nisbatan simmetrik bo’lgan w va w^* nuqtalarga akslantiradi.
Isboti: (mustakil).
akslantirishda a0 bo’lsin. Uholda

deb yozish mumkin.
Soddalik uchun
(9)
deb yozib olamiz.
Quyidagi masalani qaraymiz. tekislikdagi z₁,z₂,z₃ nuqtalarni tekislikdagi  w₁,w₂,w₃ nuqtalarga mos kuyuvchi kasr-chiziqli akslantirish topilsin.

tengliklardan b,c,d larni topib (9) ga qo’ysak, izlanayotgan funksiya aniqlanadi. Lekin bu yul uzoq bo’lgani uchun boshqacha ish ko’ramiz.

munosabatlarga ega bo’lamiz. Bu munosabatlardan foydalanib,

munosabatni hosil qilamiz. Bu munosabatga angarmonik munosabat deyiladi.
(10)
(10) 3 ta nuqtani 3 ta nuqtaga akslantiradigan formula. Demak, kuidagi teorema isbot bo’ldi.
Teorema: * tekislikdagi z₁,z₂,z₃ nuqtalarni * tekislikdagi
W₁,W₂,W₃ nuqtalarga akslantiruvchi kasr-chiziqli akslantirish mavjud va yagonadir.