6- §. Bo‘laklashlar kombinatorikasi

1- teorema. Qo‘shiluvchilar tartibini e’tiborga olgan holda istalgan natural sonning ta qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari soni ( )ta elementdan ( )talab gruppalashlar soniga teng, ya’ni .

Isboti o‘quvchiga havola qilinadi.

Yuqorida bayon etilgan mulohazalar yordamida va 1- teoremaga tayangan holda isbotlash osonligini ta’kidlab, quyidagi teoremani boshqa usul bilan isbotlaymiz.

2- teorema. Qo‘shiluvchilar tartibini e’tiborga olgan holda ixtiyoriy natural sonning barcha bo‘laklanishlari soni ga teng, ya’ni .

Isboti. Natural sonning barcha bo‘laklanishlari to‘plamini deb, shu sonning birinchi qo‘shiluvchisi ga ( ) teng bo‘lgan bo‘laklanishlari to‘plamini esa bilan belgilaymiz. Tushunarliki, bo‘ladi. Agar to‘plam elementlari sonini deb belgilasak, yuqoridagi tenglikka asosan bo‘ladi. Endi ( ) va tengliklarni hisobga olib,

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglik ixtiyoriy natural son uchun to‘g‘ri. Shuning uchun, bu tenglikdagi ni ( )ga almashtirib,

,

ya’ni ( ) ko‘rinishdagi rekurrent munosabatni hosil qilamiz. Bu rekurrent munosabat ketma-ket qo‘llanilsa, kelib chiqadi. ■