5-мавзу. Қурилиш масалаларини сонли усуллар ёрдамида ечиш. Режа

5.5. Ҳисоблаш тажрибасининг хусусиятлари

Объект моделининг адекватлиги деганда шу объектнинг барча хосса ва хусусиятлари моделда қанчалик тўғри ифодаланиши тушунилади. Аналитик усулда тузилган математик моделнинг адекватлиги, яъни аниқлик даражаси моделлаштирилаётган объект хоссаларини математик муносабатлар ёрдамида қай даражада ифодаланганлиги билан аниқланади. Шу билан бирга бу усулда моделнинг адекватлиги унинг ечиш усуллари аниқлигига ҳам боғлиқ бўлади.

Объектни эксперимент моделининг адекватлиги ўтказилган тажрибалар сони ва унинг сифатига ҳамда уларни ўтказишда фойдаланилган ўлчаш асбобларининг аниқлик даражасига боғлиқ бўлади. Тажрибалар сони қанча кўп бўлиб, ўлчаш асбобларининг аниқлик даражаси қанча юқори бўлса, олинган натижалар ҳақиқий натижаларга етарлича яқин бўлади, яъни модел адекват бўлади. Маълумки, математик моделлаштириш бир неча босқичлардан иборат бўлади: қаралаётган масаланинг барча хосса ва хусусиятларини ўрганиш; масаланинг математик моделини қуриш; масаланинг ечиш алгоритмини танлаш ёки ишлаб чиқиш; шу алгоритм асосида дастур тузиш ва натижалар олиш ҳамда уларни таҳлил қилиш.
Ҳар қандай объектни математик моделлаштиришда шу босқичларнинг барчасини кетма-кет амалга оширишга тўғри келади. Лекин бу босқичларни ҳар доим ҳам аниқ амалга ошириш имкони бўлавермайди, яъни объектнинг математик моделини қуришда баъзи бир фараз(гипотеза)ларга асосланади. Моделни ечиш учун ҳар доим аниқ усул мавжуд бўлавермайди. Кўпгина ҳолларда тақрибий ечиш усулларидан фойдаланилади. Шу сабабли ҳар қандай объектни ўрганиш мақсадида тузилган математик модел ва уни ечишдан олинган натижалар шу объект хосса ва хусусиятларини ҳар доим ҳам аниқ ифодалай олавермайди. Объектнинг адекват математик моделини тузиш учун, биринчидан объектнинг барча хосса ва хусусиятларини тўлиқ ўрганиш керак бўлса, иккинчидан бу хусусиятларнинг барчаси қурилган моделда математик муносабатлар ёрдамида ўз аксини топган бўлиши зарур бўлади. Шу билан бирга математик моделни ечишда фойдаланиладиган ечиш усули етарлича аниқликга эга бўлиши талаб этилади.
Объектнинг математик моделини адекват эканлигини текшириш ўта мураккаб жараён ҳисобланади. Чунки, тузилган математик моделни адекват модел эканлигини текшириш усулларидан бири, олинган натижаларни ўтказилган тажриба натижаларига ёки олдиндан маълум бўлган натижалар билан таққослашдир. Олинган натижалар, етарлича аниқликда ўтказилган тажриба натижаларига ёки олдиндан маълум бўлган натижаларга яқин бўлса, тузилган математик модел шунчалик адекват математик модел ҳисобланади.


Математик моделлаштиришда хатоликлар Маълумки, математик моделларни ечиш учун уни дискрет ћолга олиб келишга тўѓри келади. Масалаларни дискрет ћолга келтиришда баъзи бир хатоликларга йўл ќўйилади. Бу хатоликлар нималар ћисобига ћосил бўлади ва у ќандай баћоланади? Бу саволларга жавоб бериш ћар бир мутахассис учун жуда мућим аћамиятга эга. Таќрибий ћисоблаш хатоликлари ва уларнинг турлари. ЭЋМ ёрдамида ћисоб-китоб ишларини бажариш асосан таќрибий ћисоблашлар асосида олиб борилади. Бу эса ихтиёрий масаланинг ечими ќандайдир хатоликлар билан, яъни масаланинг таќрибий ечими ћосил бўлишига олиб келади. Масалаларни ЭЋМ да ечишда ћосил бўлган хатоликларни ќандай баћолаш мумкин, деган савол барча мутахассисларни ќизиќтириб келади. Бу саволга жавоб бериш маќсадида абсолют ва нисбий хатолик тушунчалари киритилади. Агар бирор миќдорнинг аниќ ќийматини x ва унинг таќрибий ћисоблаш натижасида олинган ќийматини x деб олсак, у ћолда абсолют хато деб x  x  x га, нисбий хато деб эса, % | x| x % | x| x x x 100 100       га айтилади. Бу хатоликларнинг келиб чиќишига асосий сабаблар нималардан иборат? Умуман олганда ћисоблаш натижасида ћосил бўладиган хатоликлар манбаларини, асосан тўрт гурућга ажратиш мумкин. Биринчи гурућ хатолар ечилаётган масаланинг математик моделини ќуриш билан боѓлиќ хатолардир. Маълумки, биринчидан объектнинг барча хусусиятларини математик моделда ћисобга олиш ҳар доим имконияти бўлавермайди. Иккинчидан объектнинг барча хусусиятларини ћисобга олиш, математик моделни ўта мураккаблашишига, натижада эса уни аниқ ечиш имкони бўлмай ќолишига олиб келади. Бу гурућ хатоликлари математик мо- 12 дел хатоси деб аталади. Иккинчи гурућ хатолар масаланинг ечиш учун бериладиган бошланѓич ќийматларидаги хатоликлардир. Ўлчаш ёки ћисоблаш натижасида олинган бошланѓич ќийматлар албатта бирор хатоликга эга бўлади. Чунки бу ќийматлар ўлчаш асбобларининг аниќлигига ёки ћисоблаш усулларига боѓлиќ бўлади. Бу гурућ хатоликлар одатда ќутилиб бўлмайдиган хатолар деб аталади. Учинчи гурућ хатолар масалани ечиш усулидаги мавжуд хатолардир. Бу хатолар ечиш усулининг хатоси деб аталади. Тўртинчи гурућ хатолар бевосита ЭЋМларда ћисоблашни ташкил этиш билан боѓлиќ бўлган хатоликлардир. Бу хатолар одатда ћисоблаш хатоликлари деб аталади. Ћисоблаш хатоликлари асосан сонларни яхлитлаш натижасида ћосил бўлади. Турли хил хатоликлардан ќутулиш учун айрим ћолларда баъзи бир таклифларни эътиборга олиш маќсадга мувофиќ бўлади: - ќиймати ћисобланадиган ифодаларни имкони борича соддалаштириш ва унда бажариладиган амаллар сонини энг кам миќдорга келтириш; - агар бир ќатор сонлар устида ќўшиш-айириш амалларини бажариш лозим бўлса, дастлаб кичик сонлар устида амалларни бажариш; - оралиќ ћисоблашларда ќийматлари деярли тенг бўлган миќдорлар устида айириш амалини бажармаслик. 1.6. Математик моделни ечиш усуллари Юќорида таъкидланганидек, объектни математик моделлаштириш ћар хил тенглама, тенгсизлик ёки уларнинг системаларини ечишга келтирилади. Уларни ечиш усулларини умуман олганда уч турга ажратиш мумкин: аналитик, сонли ва сонли-аналитик усуллар. Аналитик усул - масала ечимини аниќ математик формулалар билан(аналитик кўринишда) ифодалашдир. Бу усул аниќ усул ћисобланиб, унда масала ечими берилган бошланѓич ќийматларни ўз ичига олган математик 13 формулалар кўринишида ифодаланади. Одатда аналитик усулдан оддий математик модел билан ифодаланадиган масалаларни ечишда фойдаланилади. Чунки мураккаб масалаларнинг ечимини ћар доим ћам аниќ формула кўринишида ифодалаш имкони бўлавермайди. Аналитик усулга мисол сифатида чизиќли алгебраик тенгламалар системасини Крамер қоидаси, Гаусс ёки тескари матрица каби ечиш усулларини келтириш мумкин. Сонли усул – таќрибий ечиш усули ћисобланиб, олий математика фанининг ћисоблаш математикаси бўлимида ўрганилади. Бу усулга кўра математик моделда берилган формулалар, таќрибий равишда ўзига яќин (эквивалент) ћамда содда кўринишга эга бўлган формулалар билан алмаштирилади. Масалан функция ћосиласи, чекли айирмага; функциянинг аниќ интеграли эса чекли йиѓиндига алмаштирилади. Содда кўринишга келтирилган модел ЭЋМ ёрдамида ечилади ва масала ечими график ёки сонлар жадвали кўринишида ифодаланади. Сонли усулларга мисол сифатида транцендент тенгламаларни оралиќни тенг иккига бўлиш, урунмалар, ватарлар ёки дифференциал тенгламаларни Эйлер, Рунге-Кутта, чекли айирмалар ёрдамида ечиш усулларини келтириш мумкин. Сонли усуллардан бири итерация усулидир. Таќрибий ечиш усули итерация усули дейилади, агар номаълум устида чексиз такрорланувчи амаллар бажарилиб, ћар бир амаллардан кейин номаълум ќиймати аниќлаштирилса, шу билан бирга кейинги амалларни бажаришда номаълумнинг олдинги аниќлаштирилган ќийматидан фойдаланилса. Сонли-аналитик усул – бу юќорида айтилган икки усулнинг комбинациясидан ташкил топган усулдир. Бу усулда масала ечими асосан хосмас интеграл, чексиз ќатор, махсус функциялар ёки уларнинг комбинациялари кўринишида ифодаланади. Бу усулда ќаралаётган масала ечими аналитик кўринишда ёзиб ќуйилади, лекин сонли натижалар олинаётганда баъзи бир таќрибий ћисоблашлар амалга оширилади. Сонли-аналитик усулларга мисол тариќасида Бубнов-Галёркин ёки Фурье усулларини келтиришимиз мумкин.
Саволлар 1. Объект ва унинг хоссалари. 2. Математик модел деб нимага айтилади? 3. Математик моделлаштириш жараёни деб нимага айтилади? 4. Математик муносабат деганда нимани тушунасиз? 5. Математик моделлаштириш жараёни ќандай асосий босќичлардан иборат? 6. Алгоритм ва унинг берилиш усуллари. 7. Алгоритм турлари. 8. Алгоритмик тил ва унинг турлари. 9. Дастур ва дастурлаш нима? Дастурлаш учун алгоритмик тил ќандай танланади? 10. Моделлаштириш турлари. 11. Модел адекватлиги деганда нимани тушунасиз? 12. Модел адекватлиги ќандай текширилади? 13. Абсолют хато нима? 14. Нисбий хато нима? 15. Моделлаштиришда хатолик турлари ва уларнинг келиб чиќиш манбалари. 16. Математик моделни ечиш усуллари. 17. Аналитик усул нима? 18. Сонли усул нима? 19. Сонли-аналитик усул нима?