5-mavzu: Sanoqli va kontinual to’plamlar. Tartiblangan to’plamlar. Dekart ko’paytma

1-xossa. Sanoqli to‘plamning har qanday qism to‘plami yoki chekli yoki sanoqli.

2-xossa. Chekli yoki sanoqlita sanoqli to‘plamlarning yig‘indisi yana sanoqli bo‘ladi.

Aytaylik A₁, A₂, ... – sanoqli to‘plamlar bo‘lsin. A₁, A₂, ... to‘plamlarning barcha elementlarini quyidagicha cheksiz jadval ko‘rinishida yozish mumkin:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ ...

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ ...

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄ ...

a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄ ...

.....................................

i-qatorda A_i to‘plamning barcha elementlari turibdi. Ushbu elementlarni dioganal bo‘yicha nomerlab chiqamiz:

a11		a12		a13		a14	...
a21		a22		a23		a24	...
a31		a32		a33		a34	...
a41		a42		a43		a44	...
...		...		...		...

Shu bilan birga birnechta to‘plamlarga tegishli bo‘lgan elementlarni faqat bir marta belgilaymiz. Shunda yigindidagi har bir element o‘zining nomeriga ega bo‘ladi va natural sonlar qatori bilan chekli yoki sanoqlita to‘plamlar yig‘indisi o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatiladi.

3-xossa. Har qanday cheksiz to‘plam sanoqlita elementga ega bo‘lgan qism to‘plamga ega.

Teorema. Nol va bir oralig‘idagi haqiqiy sonlar to‘plami cheksizdir.

Isboti. Faraz qilaylik [0, 1] oraliqdagi haqiqiy sonlar sanoqli bo‘lsin. U holda bu sonlarni quyidagicha ifodalash mumkin:

.............................

.............................

haqiqiy sonni quyidagicha qoida bo‘yicha quramiz. Birinchi nol va vergul qo‘yamiz. Keyin larni quyidagicha tanlaymiz.

Shu printsipda barcha sonlarni ko‘rib chiqamiz. Natijada biror bir a_i songa teng bo‘lmagan b son hosil bo‘ladi. Ushbu son birinchi sondan hech bo‘lmaganda verguldan keyingi birinchi soni bilan, ikkinchi sondan hech bo‘lmaganda verguldan keyingi ikkinchi son bilan farq qiladi va hokazo. Shunday qilib [0, 1] oraliqdagi sonlar to‘plami sanoqli degan taxminimiz noto‘g‘ri, chunki [0, 1] oraliqdan shunday son topdikki biz sanoqli deb sanab chiqqan sonlar ichida u yo‘q. Demak [0, 1] oraliqdagi sonlar to‘plami sanoqsiz.

Ushbu teoremaning isboti uqorida keltirilgan Kantorning dioganal protsedurasiga asoslangan.

[0, 1] kesmadagi nuqtalar to‘plami quvvati kabi belgilanadi va kontinium deb nomlanadi. [0, +∞) oraliq quvvati ham gat eng, chunki : -ln[0, 1]=[0, +∞) biyeksiya o‘rinli. Aynan shu funksiya orqali [0, +∞) va (-∞, +∞) oraliqlar o‘rtasida biyeksiya o‘rnatish mumkin. Demak [0, 1], [0, +∞), (-∞, +∞) oraliqlar ekvivalent.

[0, 1]x[0, 1] kvadrat quvvati ham kontiniumga teng. Haqiqatdan ham A(x, y) nuqta

[0, 1]x[0, 1] kvadratga tegishli bo‘lsin. x va y larni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:

x=0.x₁x₂....; y=0,y₁y₂…. va har bir A(x, y) nuqtaga a=0,x₁y₁x₂y₂… haqiqiy son mos qo‘yamiz. Tushunarliki kvadratning turli xil nuqtalariga turli xil haqiqiy sonlar mos keladi. Teskari moslik ham o‘rinli ekanligini Kantor isbotlagan.

Kantorning ushbu g‘oyasi kubdagi va ixtiyoriy n- o‘lchovli jismdagi nuqtalar to‘plamining sanoqsizligi isbotiga kalit beradi. Teorema: Natural qatorning barcha to‘plam ostilari to‘plami quvvati kontinuum quvvatiga teng.

Nazorat savollari

1. 
   Daraja aksiomasini keltiring.
   
2. 
   Cheksizlik aksiomasini keltiring.
   
3. 
   T‘oplamlarning quvvati va ekvivalentligi tushunchalarini ta’riflang..
   
4. 
   Kardinal son tushunchasi haqida gapiring.
   
5. 
   Sanoqli va kontinual to‘plamlar haqida gapirig .
   
6. 
   Sanoqli to‘plamlarning xossalarini keltiring.
   
7. 
   Kantorning dioganal protsedurasi nima?