5-mavzu. Elektr zanjirlarni hisoblash usullari. Reja

I_m = y_m1· E₁. (9)
Ushbu hisoblash usulini o‘rganish, yuzaki qaraganda, biroz mushkul bo‘lib ko‘rinsa ham, u aslida juda ham oson va raqamli natijalarni tezkorlik bilan olish imkonini berishiga etibor qaratishni zarur deb hisoblaymiz.

Kontur toklar usuli
Agar elektr zanjirlarida tok va kuchlanishning taqsimlanishini hisoblashda Kirxgof qonunlarining faqat bittasidan foydalanilsa, ya’ni tenglamalar faqat tugunlar uchun (KTQ) yoki faqat konturlar uchun (KKQ) tuzilsa, u xolda umumiy tenglamalar soni kamayishi mumkin.
Tenglamalar shunday tuzilishi lozimki, unda boshqa qonunlar bajarilishi ta’minlansin. Bunday tenglamalarni tuzishning ikki usuli Maksvell tomonidan taklif etilgan; ulardan biri kontur toklar usuli bo‘lsa, ikkinchisi - tugun potensiallari usuli deb nomlangan.
Elektr zanjirining ixtiyoriy shoxobchasidagi tokni, xar biri o‘zining berk konturida oquvchi, shu shoxobcha bo‘ylab o‘zgarmaydigan bir necha toklar yig‘indisi deb qarash mumkin. Haqiqiy toklarning bunday tashkil etuvchilari kontur toklari deb ataladi. Faqat bir konturga taalluqli ixtiyoriy shoxobchaning toki kontur toki bilan mos bo‘ladi. Ikki yoki bir necha konturlarga taalluqli shoxobchalardagi toklar, mazkur kontur toklarining algebraik yig‘indisiga teng. Kontur toklari tugunlardan o‘tganda uzluksiz bo‘ladilar: demak, toklarni shunday ta’riflaganda, KTQ so‘zsiz bajariladi.
Shoxobcha toklarini kontur toklariga ajratish zanjirning tahlilidan kelib chiqadi. Kontur toklarini shoxobcha-vatar toklariga o‘xshatish mumkin, bunday vaziyatda mustaqil kontur toklari tenglamalarining soni
r= I+ 1 - E (10)
noma’lumlar soni bilan teng bo‘ladi; barcha boshqa shoxobchalarning toklari kontur toklari orqali ifodalangan bo‘ladi.
2 , a-rasmda ikki kontur toklari I₁ va I₂ bo‘lgan oddiy elektr zanjiri keltirilgan. Zanjirning, a va b shoxobchalaridagi toklar kontur toklariga teng: I_a= I₁; Ib= I₂ .

2-rasm.
Zanjirning s shohobchasidagi tok ikki boshqa shoxobchalar toklarining algebraik yig‘indisiga teng: u ikkala kontur uchun umumiy bo‘lgan shu shoxobchadan oqib o‘tayotgan kontur toklarning ham yig‘indisiga teng:

I_s = I₁ + I₂ .
Kirxgofning ikkinchi qonuniga binoan zanjirning birinchi konturi uchun (2,a-rasm)
r_aI_a + r_cI_c = Ye_a - Ye_c
yoki
(r_a + r_c) I₁ + r_cI₂ = E_a - E_c
yangi belgilashlar qabul qilinsa:
r₁₁·I₁ + r₁₂I₂ = Ye₁,
bunda r₁₁ = r_a + r_c - birinchi kontur tarkibiga kirgan barcha shoxobchalar qarshiliklarining yig‘indisi: r₁₂ = r_c - birinchi va ikkinchi konturlar uchun umumiy bo‘lgan shoxobcha qarshiligi: Ye₁=Ye_a - Ye_c - birinchi kontur tarkibiga kirgan barcha EYuK lar algebraik yig‘indisi: musbat ishora bilan yo‘nalishi kontur toki yo‘nalishiga mos bo‘lgan EYuK belgilangan.
Shunga o‘xshash, ikkinchi konturda (2,a -rasm):
r₂₁·I₁ + r₂₂I₂ = E₂
bunda
r₂₁ = r_c; r₂₂ = r_b + r_c; Ye₂ = Ye_b - Ye_c .
Ta’riflanishiga ko‘ra, ikki kontur uchun umumiy bo‘lgan shoxobchaning qarshiligi r₁₂ = r₂₁.
Yuqorida ko‘rilganlarni ixtiyoriy konturlar soni uchun umumlashtirsak, tarkibida tok manbasi bo‘lmagan zanjir uchun kontur toklari tenglamalari tizimi quyidagi andozada yoziladi:
r₁₁·I₁+ r₁₂·I₂+ r₁₃·I₃+… = E₁ ;
r₂₁·I₁+ r₂₂·I₂+ r₂₃·I₃+… = E₂ ; (11,a)
. . . . . . . . . . . . . . . .
Ushbu tenglamalar tizimini matritsa shaklida qisqartirib yozish ham mumkin:
r_ln I_n = Ye_l . (11,b)
Kontur toklar tenglamalar tizimidagi bir xil indeksli qarshiliklar rln, L-konturdagi barcha shoxobchalar qarshiliklari yig‘indisiga teng: xar qanday xar xil indeksli (l≠n) r_ln qarshilik ikkala qo‘shni l va n konturlar uchun umumiy bo‘lgan shoxobcha qarshiligiga teng: agar l va n konturlarning umumiy shoxobchasidagi toklar musbat ishoralari xar xil yo‘nalgan bo‘lsa, u holda rln qarshiligi oldida minus ishorasi quyiladi.
Ta’rif bo‘yicha
r_ln= r_nl . (12)
Tenglamalar tizimi (11) ning kontur toklariga nisbatan yechimini xam matritsa shaklida yozish qulayliklarga olib keladi:
I_n = G_nl Ye_l . (13)
O‘tkazuvchanlik G_nl ning matritsasi barcha elementlari bu ifodada Kramerning D determinanti va mazkur qarshilik matritsasi rln ning algebraik qo‘shimchasi Aln orqali keltirilgan:
G_nl = A_nl / D. (14)
Keyingi tenglik berilgan r_ln=r_nl qarshilik tizimi matritsasining simmetrik bo‘lganidagina xaqiqiydir.
Qarshilik matritsasi (r_ln=r_nl) simmetriyaligidan algebraik qo‘shimchalarning (A_nl=A_ln) simmetriyaligi kelib chiqadi va, demak, o‘tkazuvchanlik elementlari matritsasi ham simmetrik bo‘lishi zarur:
G_nl=G_ln. (15)
bunda G_nl koeffitsiyentlar, umumiy xolda, kontur o‘tkazuvchanliklari deb ataladi.
Ixtiyoriy ikki tugunga ulangan tok J_a manbasining zanjirda mavjudligi, kontur toklari usulini qo‘llashga to‘sqin bo‘la olmaydi.
Shunday qilib, (11, b) tenglamalar tizimining chap tomonida rla Ja hadi qo‘shiladi, ya’ni
r_ln I_n + r_la J_a =E_l. (16)
Bunda, tenglamalar soniga tengligicha qoladi, chunki no’malum kontur toklar soni ortgani yo‘q.
Qo‘shimcha hadni tenglamalarning o‘ng tomoniga o‘tkazib, (16) tenglamalar tizimini quyidagi shaklga keltiramiz:
r_ln I_n = E_l - r_la J_a = E _l. (17)
E _l qiymatni konturning keltirilgan EYuKi deb nomlash mumkin.
Misol ta’riqasida 2,b-rasmdagi zanjirni ko‘ramiz; uning o‘ng shoxobchasida tok manbasi mavjud. Zanjir sxemasida ko‘rsatilgan ikki konturning tenglamalarini tuzish yetarlidir. Ularni tuzishda Ja toki qarshilikda hosil qilgan kuchlanishlar pasayuvini kiritish zarur: