5-ma’ruza. O‘lchovli funksiyalar va ularning xossalari (2 soat) Darsning rejasi

8.3-lemma. Agar va lar da o‘lchovli funksiyalar bo‘lsa, u holda

to‘plam o‘lchovli bo‘ladi.
Isbot. Ratsional sonlar to‘plami sanoqli bo‘lgani uchun uning elementlarini nomerlab chiqamiz, ya’ni va quyidagi tenglikni isbotlaymiz:
(8.1)
Faraz qilaylik, bo‘lsin, u holda ratsional sonlar-ning zichlik xossasiga ko‘ra shunday mavjudki, munosabat o‘rinli bo‘ladi. Demak,

Bundan

Ekanligi, bundan esa kelib chiqadi. Endi teskari munosabatni ko‘rsatamiz.

ixtiyoriy nuqta bo‘lsin, u holda birlashmadagi to‘plamlarning hech bo‘lmaganda bittasiga tegishli bo‘ladi, ya’ni shunday mavjudki, bir vaqtda va bo‘ladi. Bundan ekanligi va demak ekanligi, bundan kelib chiqadi.
Biz (8.1) tenglikni isbotladik. 8.3-lemmaning isboti (8.1) tenglikdan, hamda o‘lchovli to‘plamlarning sanoqli birlashmasi (7.4-teorema) yana o‘lchovli ekanligidan kelib chiqadi.
8.1-teoremaning isboti. Teoremani bir necha qismlarga ajratib isbotlaymiz.
1) agar o‘lchovli funksiya bo‘lsa, u holda ixtiyoriy uchun va funksiyalar ham o‘lchovli bo‘ladi. Haqiqatan ham,
(8.2)
(9.2) tenglikning o‘ng tomonidagi to‘plamlarning har biri o‘lchovli bo‘lgani uchun funksiya o‘lchovli bo‘ladi. funksiyaning o‘lchovliligi

tenglikdan kelib chiqadi.
2) Agar va lar da o‘lchovli funksiyalar bo‘lsa, u holda 8.3-lemmaga ko‘ra

to‘plam ixtiyoriy da o‘lchovli bo‘ladi. Demak, ta’rifga ko‘ra o‘lchovli funksiya bo‘ladi.
3) 1) va 2) dan kelib chiqadiki, o‘lchovli funksiya bo‘ladi.
4) Agar o‘lchovli bo‘lsa, u holda va lar ham o‘lchovli funksiyalar bo‘ladi. Haqiqatan ham,
(8.3)
(8.3) tenglikning o‘ng tomonidagi to‘plamlar ixtiyoriy da o‘lchovli bo‘lgani uchun o‘lchovli funksiya bo‘ladi.
(8.4)
funksiyaning o‘lchovli ekanligidan, (8.4) tenglikning o‘ng tomonidagi to‘plamlarning ixtiyoriy da o‘lchovli ekanligi kelib chiqadi. Demak, o‘lchovli funksiya bo‘ladi.
5) O‘lchovli funksiyalarning ko‘paytmasi o‘lchovli ekanligi quyidagi

ayniyatdan, hamda 1), 2), 3) va 4) xossalardan kelib chiqadi.
6) Agar o‘lchovli bo‘lib, bo‘lsa, u holda ning o‘lchovli bo‘lishi

tenglikdan kelib chiqadi. Demak, o‘lchovli funksiya. 5-xossaga ko‘ra, funksiya ham o‘lchovli bo‘ladi, bunda
Shunday qilib, biz o‘lchovli funksiyalar to‘plamining arifmetik amallarga nisbatan yopiqligini ko‘rsatdik.
Analizdan ma’lum bo‘lgan tekis va nuqtali yaqinlashish ta’riflarini keltiramiz. o‘lchovli to‘plamda funksiya va o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin.