5-ma’ruza. O‘lchovli funksiyalar va ularning xossalari (2 soat) Darsning rejasi

8.2-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha va hamma larda bo‘lsa, u holda funksiyalar ketma-ketligi to‘plamda funksiyaga tekis yaqinlashadi deyiladi.
8.3-ta’rif. Agar har bir da bo‘lsa, u holda funksiyalar ketma-ketligi ga nuqtali yaqinlashadi deyiladi.
Quyidagi teorema o‘lchovli funksiyalar to‘plamining limitga o‘tish (nuqtali yaqinlashish) amaliga nisbatan ham yopiqligini ifodalaydi.
8.2-teorema. Agar o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi har bir da ga yaqinlashsa, u holda limitik funksiya o‘lchovli bo‘ladi.
Isbot. Shartga ko‘ra, ixtiyoriy uchun o‘rinli. Agar biz
(9.5)
tenglikni isbotlasak, teorema isbotlangan bo‘ladi. Chunki, sanoqli sondagi o‘lchovli to‘plamlarning birlashmasi va kesishmasi (7.4-teoremaga qarang) yana o‘lchovli to‘plamdir. (8.5) tenglik amaliyot darsida isbotlanadi.
Bu ma’ruzani quyidagi misol bilan yakunlaymiz.
8.2-misol. Agar o‘lchovli funksiya bo‘lsa, u holda funksiya ning ixtiyoriy o‘lchovli qismida ham o‘lchovli funksiya bo‘lishini ko‘rsating.
Yechish. Haqiqatan ham, ixtiyoriy uchun

tenglik o‘rinli. va to‘plamlar o‘lchovli bo‘lganligi uchun to‘plam ham o‘lchovli bo‘ladi. Ta’rifga ko‘ra, funksiya da o‘lchovli bo‘ladi.