5-amaliy mashg’ulot. 2×2, 2×n, m×2 o’lchamli o’yinlar. Reja

1- teorema. Har qanday matrisaviy o’yin aralash strategiyalarda muvozanat vaziyatiga egadir.
3-ta’rif. Agar I (mos ravishda, II) o’yinchining shunday optimal (mos ravishda, ) strategiyasi mavjud bo’lib, (mos ravishda, ) bo’lsa, (mos ravishda, ) sof strategiya shu o’yinchining aktiv strategiyasi deyiladi.
1-tasdiq. Agar I o’yinchi optimal aralash strategiyani qo’llasa, raqib tomon qanday aktiv -strategiyani qo’llamasin, uning yutug’i o’yin bahosiga teng bo’ladi, ya’ni tenglik bajariladi. Xuddi shunga o’xshash, agar II o’yinchi optimal aralash strategiyasini qo’llasa, I o’yinchi o’zining qanday aktiv -strategiyasini qo’llamasin, tenglik o’rinli bo’ladi.


2. 2x2 - o’yinni yechish

Endi yuqorida keltirilgan mulohazalardan foydalanib 2x2-o’yinni yechish bilan shug’ullanamiz.

Faraz qilaylik, 2x2 o’yin to’lovlar matrisasi bilan berilgan va u egar nuqtaga ega bo’lmasin. o’yinchilarning optimal strategiyalari , va o’yin bahosi ni topish talab qilinadi.
Quyidagi tasdiq o’rinli: agar 2x2-o’yinda egar nuqta mavjud bo’lmasa, o’yinchilarning ikkala strategiyalari ham aktiv bo’ladi, ya’ni, , ; , .
Shuning uchun, 1-tasdiqqa ko’ra, agar I o’yinchi optimal aralash strategiyani qo’llasa va II o’yinchi yoki strategiyalaridan foydalansa, I o’yinchining yutug’i o’yin bahosiga teng bo’ladi, ya’ni, bajariladi. ekanligini hisobga olsak,

sistemaga ega bo’lamiz. Bu sistema yagona yechimga ega deb faraz qilamiz, ya’ni
(4)
bo’lsin. Ko’rsatish mumkinki, agar egar nuqta mavjud bo’lmasa, (4) shart bajariladi. U vaqtda optimal strategiyaning komponentalari
(5)
formula bo’yicha topiladi.
Xuddi shunga o’xshash, 1-tasdiq asosida II o’yinchi uchun

sistemani hosil qilamiz va (4) shart bajarilganda uni yechib q^*=(q₁,q₂) optimal strategiya komponentalarini topamiz:
(6)
Qaralayotgan 2x2- o’yin bahosi esa
(7)
formula bo’yicha topiladi.
2-misol. To’lovlar matrisasi 1- jadvalda keltirilgan o’yinning yechimi topilsin.
1-jadval

II I	B1	B2
A1	5	-1
A2	2	4

Bu yerda , , ya’ni o’yin egar nuqtaga ega emas. O’yin yechimini aralash strategiyalarda topamiz. bo’lgani uchun (5), (6), (7) formulalarga ko’ra