5-amaliy mashg’ulot. 2×2, 2×n, m×2 o’lchamli o’yinlar. Reja

3. Matrisaviy o’yinni soddalashtirish

Agar o’yinning to’lovlar matrisasi egar nuqtaga ega bo’lmasa, optimal aralash strategiyalarni va o’yin bahosini topish masalasi matrisa o’lchamlari kattalashgan sari murakkablashadi.

To’lovlar matrisasini tahlil qilish shuni ko’rsatadiki, takrorlanuvchi va befoydaligi ayon bo’lgan strategiyalardan voz kechish yordamida o’yin o’lchamini kichraytirish va natijada, uni yechishni bir muncha osonlashtirish mumkin.
To’lovlar matrisasi , , , bo’lgan – o’lchamli o’yin berilgan bo’lsin. O’yinning bahosini deb, I va II o’yinchi sof strategiyalarini , , aralash strategiyalarini esa deb belgilaymiz.
4-ta’rif. Agar matrisaning biror satrining ( ustunining) hamma elementlari boshqa bir satri ( ustuni) mos elementlariga teng bo’lsa, ya’ni bo’lsa, strategiyalar takrorlanuvchi yoki ekvivalent strategiyalar deb ataladi.
5-ta’rif. Agar matrisa biror satrining ( ustunining) barcha elementlari boshqa bir satr ( ustuni) elementlaridan katta bo’lmasa (kichik bo’lmasa), ya’ni bo’lsa, strategiya befoyda strategiya deb ataladi.
Berilgan -o’lchamli matrisaning -satrini ( -ustunini) o’chirgandan keyin hosil bo’lgan ( )-o’lchamli matrisani bilan belgilaymiz.
Quyidagi teorema o’rinlidir.
2-teorema. Faraz qilaylikki, I (II) o’yinchining strategiyasi befoyda yoki biror strategiyaga ekvivalent bo’lsin. U holda:
1)
2) II (I) o’yinchining o’yindagi optimal strategiyasi o’yinda ham optimal bo’ladi;
3) agar I o’yinchining II o’yinchining) o’yindagi optimal strategiyasi bo’lsa, I o’yinchining (II o’yinchining) o’yindagi optimal strategiyasi bo’ladi.
Bu teoremadan foydalangan holda matrisaviy o’yin o’lchamini kichraytirish quyidagicha bajariladi.
Agar to’lovlar matrisasining biror - satri ( -ustuni) shu matrisa qolgan satrlari (ustunlari) qavariq kombinasiyasidan katta (kichik) bo’lmasa, o’yinni yechish uchun shu satrni (ustunni) o’chirish mumkin. Bunda I (II) o’yinchining ( ) optimal strategiyasida deb olinadi.
3-misol. To’lovlar matrisasi 1-jadvalda berilgan o’yin soddalashtirilsin va yechimi topilsin.
1-jadval