5- funksional qatorlarni xamda funksional ketma-ketliklarni xadlab integrallash

M i s o l l a r. Ushbu


qatorlar darajali qatorlardir.
Shunday qilib, darajali qatorlarning har bir hadi da berilgan funksiyadir. Binobarin, darjali qatorni, formal nuqtai nazardan, da qarash mumkin. Ammo tabiiyki, ularni ixtiyoriy nuqtada yaqinlashuvchi bo’ladi deya olamiz.
Albatta, ixtiyoriy darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi bo’ladi. Bu ravshan. Demak, darajali qatorning yaqinlashish sohasi albatta nuqtani o’z ichiga oladi.
Darajali qatorning yaqinlashish sohasi (to’plami) strukturasini aniqlashda quyidagi Abel teoremasiga asoslanadi.
14.14-teorema (Abel teoremasi). Agar

darajali qator x ning qiymatida yaqinlashuvchi bo’lsa, x ning

tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida (14.27) darajali qator absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.

I s b o t. Shartga ko’ra

qator (sonli qator) yaqinlashuvchi. U holda qator yaqinlashuvchiligining zaruriy shartiga asosan

bo’ladi. Demak { } ketma-ketmalik chegaralangan bo’ladi, ya’ni shunday o’zgarmas M soni mavjudki, ∀ n uchun

tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlikni e’tiborga olib quyidagini topamiz:

Endi ushbu

qator bilan birga quyidagi

qatorni qaraylik. Bunda, birinchidan (14.31) qator yaqinlashuvchi (chunki bu qator geometrik qator bo’lib, uning maxraji (14.29) ga ko’ra 1 dan kichik: ) ikkinchidan (14.30) qatorning har bir xadi (14.31) qatorning mos xadidan katta emas. U holda 1-qism 11-bob 3-§ da keltirilgan teoremaga ko’ra (14.30) qator yaqinlashuvchi bo’ladi. Demak, berilgan (14.27) darajali qator yaqinlashuvchi.
Teorema isbot bo’ldi.
14.1-natija. Agar

darajali qator x ning qiymatida uzoqlashuvchi bo’lsa x ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida uzoqlashuvchi bo’ladi.
I s b o t. Berilgan (14.27) darajali qator nuqtada uzoqlashuvchi bo’lsin. Unda bu qator x ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida ham uzoqlashuvchi bo’ladi, chunki (14.27) qator x ning tensizlikni qanoatlantiruvchi biror qiymatida yaqinlashuvchi bo’ladigan bo’lsa unda Abel teoremasiga ko’ra bu qator nuqtada ham yaqinlashuvchi bo’lib qoladi. Bu esa (14.27) qatorning da uzoqlashuvchi deyilishiga ziddir. Natija isbot bo’ldi.

2.