5- funksional qatorlarni xamda funksional ketma-ketliklarni xadlab integrallash

I s b o t. Shartga ko’ra

funksional qator da tekis yaqinlashuvchi. Uning yig’indisini deylik:

da uzluksiz bo’ladi.
Funksional qatorni hadlab integrallash haqidagi 14.10-teoremadan foydalanib, ushbu

qatorni oraliq bo’yicha xadlab integrallab quyidagini topamiz:

Modomiki, funksiya oraliqda uzluksiz ekan, 1-qism, 6-bob, 4-§ da keltirilgan teoremaga binoan

funksiya differensiallanuvchi bo’lib, uning hosilasi

bo’ladi.
Ikkinchi tomondan (14.26) tenglikka ko’ra

ya’ni

bo’lishini topamiz. Bu esa (14.5) funksional qator yig’indisi hosilaga ega va uning uchun (14.25) tenglik o’rinli bo’lishini bildiradi.
Teorema isbot bo’ldi.
(14.25) tenglikni quyidagicha ham yozish mumkin:

Bu esa 14.12-teoremaning shartlari bajarilganda cheksiz qatorlarda ham hadlar differensiallash qoirdasi o’rinli bo’lishi ko’rsatiladi .
14.4-eslatma. 14.12-teoremaning funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanlik sharti ham yetarli bo’lib, u zaruriy shart emas.
2. Funksional ketma-ketliklarni hadlab differensiallash. segmentda yaqinlashuvchi
(14.2)
funksional ketma-ketlik berilgan bo`lib , uning limit funksiyasi
bo`lsin.
14.13-teorema. Agar funksional ketma-ketlikning har bir segmentda uzluksiz hosilaga ega bo`lib, bu hosilalardan tuzilgan

funksional ketma-ketlik da tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda limit funksiya shu da hosilaga ega bo’lib, ketma-ketlikning kimiti ga teng bo’ladi.
7-§. Darajali qatorlar.
1 .D a r a j a l i q a t o r l a r .A b e l t e o r e m a s i. Biz avvalgi paragraflarda funksional qatorlarni o’rgandik. Funksional qatorlar orasida, ularning xususiy holi bo’lgan ushbu

yoki, umumiyroq,

qatorlar (bunda o’zgarmas xaqiqiy sonlar) matematikada va uning tadbiqlarida muhim rol o’ynaydi. Bu yerda, ushbu bobning 1-§ idagi (14.5) ifodada qatnashgan sifatida

ya’ni o`zgaruvchining darajalari qaralyapti. Shu sababli (14.27) va (14.28) qatorlar darajali qatorlar deb ataladi.
Agar (14.28) qatorda deb olinsa, u holda bu qator o’zgaruvchiga nisbatan (14.27) qator ko’rinishiga keladi. Demak, (14.27) qatorlarni o’rganish kifoyadir.
(14.27) ifodadagi haqiqiy sonlar (14.27) darajali qatorning koeffitsentlari deb ataladi.
Darajali qatorning tuzulishidan, darajali qatorlar bir-biridan faqat koeffitsentlari bilangina farq qilishini ko’ramiz. Demak, darajali qator berilgan deganda uning koeffitsentlari berilgan deganini tushunamiz.