5- funksional qatorlarni xamda funksional ketma-ketliklarni xadlab integrallash

soni topiladiki (14.27) darajali qator ninig tensizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida absolyut yaqinlashuvchi, tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida esa uzoqlashuvchi bo’ladi. Teorema isbotlandi.
14.8-ta’rif. Yuqoridagi 14.15-teoremada soni (14.27) darajali qatorning yaqinlashish radiusi, ( interval esa (14.27) darajali qatorning yaqinlashish intervali deb ataladi.
14.5-eslatma. 14.15-teorema ning nuqtalarda (14.27) darajali qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi to’g’risida xulosa chiqarib bermaydi. Bu nuqtalarda (14.27) darajali qator yaqinlashuvchi ham bo’lishi mumkin, uzoqlashuvchi ham bo’ishi mumkin.
Endi misollar misollar qaraymiz.
M i s s o l a r 1. Ushbu

darajali qator (geometric qator) ning yaqinlashish radiusi , yaqinlashish intervali (-1;+1) bo’ladi. Bu qator intervalning chekka nuqtalari r da uzoqlashuvchi.
2.Quyidagi

qatorning yaqinlashish radiusi , yaqinlashish intervali (-1;+1) bo’ladi. Berilgan darajali qator r da yaqinlashuvchi. Demak, darajali qatorning yaqinlashish sohasi (to’plami) [-1; +1] segmentdan iborat.

darajali qatorning yaqinlashish radiusi , yaqinlashish intervali esa (-1;+1) bo’ladi. Berilgan qator da yaqinlashuvchi, da esa uzoqlashuvchidir. Demak, qatorning yaqinlashish sohasi (-1; +1] yarim intervaldan iborat.
14.6-eslatma. Yuqoridagi teorema ba’zi nuqtalarda yaqinlashuvchi, ba’zi nuqtalarda uzoqlashuvchi bo’lgan darajali qatorlar haqidadir. Ammo shunday darajali qatorlar ham borki, ular faqat nuqtadagina yaqinlashuvchi bo’ladi. Masalan :

qator istalgan nuqtada uzoqlashuvchidir. Haqiqatan ham, Dalamber alomatiga ko’ra

bo’ladi. Demak,

qator istalgan da uzoqlashuvchi. Bunday darajali qatorlarning radiusi deb olamiz.

Ayni vaqtda shunday darajali qatorlar ham borki, ular ixtiyoriy da yaqinlashuvchi bo’ladi. Masalan :

ni olaylik.
Bu qator istalgan nuqtada yaqinlashuvchidir. Haqiqatan ham, yana Dalamber alomatiga ko’ra

bo’ladi. Demak, bu qator istalgan da yaqinlashuvchi. Bunday darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi deb olinadi.

3. 
   Koshi-Adamar teoremasi. Yuqorida ko’rindiki, darajali qatorlarning yaqinlashish sohasi sodda strukturaga ega bo’lar ekan: yoki interval, yoki yarim interval, yoki segment. Hamma hollarda ham bu soha yaqinlashish radiusi orqali ifodalanadi.
   

Ma’lumki, har qanday darajali qator

uzining koeffitsienlari ketma-ketligi { } bilan aniqlanadi. Binobarin, unig yaqinlashish radiusi ham shu koeffitsientlar ketma-ketiligi orqali qandaydir topilishi kerak. Berilgan (14.27) darajali qator koeffitsientlari yordamida { }:

sonlar ketma-ketligini tuzamiz. Ma’lumki, har qanday sonlar ketma-ketligining yuqori limiti mavjud (qaralsin, 1-qism, 3-bob, 11-§). Demak, (14.32) ketma-ketlik ham yuqori limitga ega. Uni bilan belgilaylik:

14.16-teorema (Koshi-Adamar teoremasi). Berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi

bo’ladi.
14.6-eslatma. Yuqoridagi (14.33) formulada bo`lganda
bo`lganda esa deb olinadi.
Isbot. (14.33) formulaning to`g`riligini ko`rsatishda quyidagi

1. 
   (
   
2. 
   (
   
3. 
   
   

hollarni alohida-alohida qaraymiz.

1. 
   bo`lsin. Bu holda ketma-ketlik chegaralanmagandir. Ixtiyoriy nuqtani olib, bu nuqtada (14.27) darajali qatorning uzoqlashuvchi ekanini ko`rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni shu nuqtada (14.27) darajali qator yaqinlashuvchi bo`lsin. Demak, qator (sonli qator) yaqinlashuvchi. Unda qator yaqinlashuvchiligining zaruriy shartiga asosan
   

bo`ladi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan, ya’ni shunday o`zgarmas M soni mavjudki (uni 1 dan katta qilib olish mumkin), uchun
(M )
tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlikdan
,
ya’ni

bo`lishi kelib chiqadi. Shunday qilib ketma-ketlik chegaralangan bo`lib qoldi. Natijada ziddiyatlik yuzaga keldi. Ziddiyatlikning kelib chiqishiga sabab nuqtada (14.27) qatorning yaqinlashuvchi bo`lsin deb olishidir. Demak, (14.27) darajali qator ixtiyoriy nuqtada uzoqlashuvchi.

2. 
   bo`lsin. Bu holda ixtiyoriy nuqtada (14.27) darajali qatorning yaqinlashuvchi bo`lishini ko`rsatamiz. Modomiki, ketma-ketlikning yuqori limiti nolga teng ekan, bundan uning limiti ham mavjud va nolga tengligi kelib chiqadi. Ta’rifga asosan son olinganda ham, jumladan ga ko`ra shunday topiladiki, barcha uchun
   

bo`ladi. Keyingi tengsizlikdan esa

bo`lishi kelib chiqadi.

Ravshanki
qator yaqinlashuvchi. Taqqoslash teoremasiga ko`ra (qaralsin, 1-qism, 11-bob, 3-§)

qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi. Demak,

qator absolyut yaqinlashuvchi.

3. 
   bo`lsin. Bu holda (14.27) darajali qator ixtiyoriy
   

nuqtada uzoqlashuvchi bo`lishini ko`rsatamiz.
bo`lsin. U holda shunday sonni topish mumkinki,
bo`ladi. Endi sonni olaylik. Bu songa ko`ra shunday topiladiki, barcha uchun (yuqori limitning hossasiga ko`ra, 1-qism, 3-bob, 11-§) ya’ni
bo`ladi. Demak, barcha uchun

(14.34)
bo`lishi kelib chiqadi, bunda


Endi ushbu

qator bilan quyidagi

qatorni solishtiraylik. Bunda, birinchidan, (14.35) qator yaqinlashuvchi (chunki bu qator geometrik qator bo’lib, uning maxraji
0< ikkinchidan, ning biror qiymatida boshlab ( (14.34) munosabatga ko’ra (14.30) qatorning har bir hadi (14.35)
qatorning mos hadidan katta emas. Unda qatorlar nazariyasida keltirilgan taqqoslash teoremasiga (1-qism, 11-bob, 3-§) ko’ra (14.30) qator yaqinlashuvchi bo’ladi.
bo’lsin. Unda shunday sonni toppish mumkunki,

bo’ladi. Endi sonni olaylik. Yuqori limitning hossasiga asosan (1-qism, 3-bob, 2-§) ketma-ketlikning ushbu
ya’ni
tengsizlikni qanoatlantiradigan hadlarining soni cheksiz ko’p bo’ladi.
Demak, bu holda

bo’lib , bunda

bo’ladi.
Yuqoridagi (14.36) munosabatdan da ketma-ketlikning limiti nolga teng emasligini topamiz. Demak,

qator uzoqlashuvchi (qator yaqinlashuvchiligining zaruriy sharti bajarilmaydi).
Shunday qilib, har bir nuqtada (14.27) darajali qator yaqinlashuvchi, xar bir nuqtada esa shu darajali qator uzoqlashuvchi bo’lar ekan.
Darajali qatorning yaqinlashish radiusi ta’rifini e’tiborga olib, berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi ekanini topamiz. Teorema isbot bo’ldi.
M i s o l l a r. 1. Ushbu

darajali qatorni qaraylik. Bu darajali qatorning yaqinlashish radiusini (14.33) formulaga ko’ra topamiz:

Demak, berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi yaqinlashish intervali esa dan iborat. Bu darajali qator yaqinlashish intervalining chekkalarida mos ravishda quyidagi

sonli qatorlarga aylanib, ularni Leybnis teoremasi hamda Raabe alomatidan foydalanib yaqinlashuvchi ekanligini isbotlash qiyin emas.
Demak, berilgan darajali qatorning yaqinlashish sohasi [ -1; +1 ] segmentdan iborat.
Ko’pincha praktikada darajali qatorlarning yaqinlashish sohalarini topishda sonli qatorlar nazariyasida keltirilgan alomatlardan foydalaniladi. Bunda o’zgaruvchi ni parametr sifatida qaraladi.
2. Ushbu
1+
darajali qatorni qaraylik. Bu qatorga Dalamber alomati (1-qism, 11-bob, 4-§)ni qo’llab quyidagini topamiz:


Demak, ya’ni bo’lganda qator yaqinlashuvchi, ya’ni
bo’lganda qator uzoqlashuvchi. Shunday qilib, berilgan darajali qatorning
yaqinlashish radiusi , yaqinlashish integrali esa (-5,5) bo’ladi.
Yaqinlashish integrali (-5,5) ning chekkalarida darajali qator mos ravishda
1-
sonli qatorlarda aylanib, bu qatorlarning birinchisi yaqinlashuvchi, ikkinchisi esa uzoqlashuvchidir. Demak, berilgan darajali qatorning yaqinlashish sohasi [-5,5) yarim integraldan iborat ekan.
8-§. Darajali qatorning xossalari
Biror

qarajali qator berilgan bo`lsin.
14.17-t e o r e m a. Agar darajali qatorning yaqinlashish radiusi
bo`lsa, u holda bu qator [ segmentda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
I s b o t. shartga ko’ra darajali qatorning yaqinlashish radiusi. Demak, berilgan qator ( intervalda yaqinlashuvchi. Jumladan, bo’lganligidan, (14.27) darajali qator nuqtada ham yaqinlashuvchi (absolyut yaqinlashuvchi) bo’ladi. Demak,

qator yaqinlashuvchi.
uchun har doim bo’ladi. Natijada, ushbu

qatorning har bir hadi (14.37) qatorning mos hadidan katta emasligini topamiz. U holda Veyershtrass alomatiga ko’ra darajali qator [ segmentda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.
14.7- eslatma. Bu xossadagi sonni (14.27) darajali qatorning yaqinlashish radiusi ga har qancha yaqin qilib olish mumkin. Ammo, umuman aytganda,(14.27) darajali qator ( da tekis yaqinlashuvchi bo’lavermaydi.
Masalan, ushbu

darajali qator (-1,+1) oraliqda yaqinlashuvchi , ammo u (-1,+1) da tekis yaqinlashuvchi emas (134-betga qaralsin).
14.18- t e o r e m a. Agar darajali qatorning yaqinlashish radiusi
bo’lsa, u holda bu qatorning yig’indisi ( oraliqda uzluksiz funksiya bo’ladi.
I s b o t. (14.27) darajali qatorning yaqinlashish intervali ( dan ixtiyoriy
nuqtani olamiz. Ravshanki, bo’ladi. Ushbu, ,
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi sonini olaylik. (14.27) darajali qator yuqorida keltirilgan 14.17-teoremaga ko’ra [ da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Unda ushbu bobning 3-§ idagi 14.6-teoremaga asosan, berilgan (14.27) darajali qatorning yig’indisi funksiya [ da, va demak, nuqtada uzluksiz bo’ladi. Demak, (14.27) qatorning yig’indisi funksiya ( intervalda uzluksizdir. Teorema isbot bo’ldi.
14.19- t e o r e m a. (Abel teoremasi). Agar darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’lib, bu qator nuqtada yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (14.27) qatorning yig’indisi funksiya, shu
nuqtada chapdan(o’ngdan) uzluksiz bo’ladi.
I s b o t. berilgan (14.27) darajali qator


nuqtada yaqinlashuvchi bo’lsin. Demak, ushbu

sonli qator yaqinlashuvchi. Uning yig’indisini bilan belgilaylik:

biz ya’ni bo’lishini isbotlashimiz kerak.
Agar deb olinsa, unda bo’lib,

bo’ladi.
Shartga ko’ra(14.38) qator yaqinlashuvchi. U holda 1-qism, 11- bob, 4-§da kelirilgan teoremaga asosan, olinganda ham ga ko’ra shunday topiladiki, barcha va da
(14.39)
bo’ladi. Bu tengsizlikda da limitga o’tib quyidagini topamiz:

Endi quyidagi

qatorni qaraymiz. Bu qator , da yaqinlashuvchi bo’ladi. Haqiqatdan ham,



bo’lishini va yuqoridagi (14.39) tengsizlikni e’tiborga olib quyidagini topamiz:

<
Bu esa (14.40) qatorning yaqinlashuvchiligini, ya’ni olinganda ham, shunday topiladiki, va lar uchun
(14.41)
bo’lishini ko’rsatadi . Bu tengsizlikda da limitga o’tib, quyidagini topamiz:
(14.42)
Agar deb olinsa unda bo’lganda (14.41) va (14.42) tengsizliklar bir yo’la bajariladi.
Barcha uchun


bo’ladi.
Ravshanki, da
Shu sababli

deb olish mumkin.
Natijada

bo’ladi. Bu esa

bo’lishini bildiradi. Demak, (14.27) darajali qatorning yig’indisi funksiya da chapdan uzluksiz.


Huddi shunga uxshash (14.27) darajali qator da yaqinlashuvchi bo’lsa, qatorning yig’indisi nuqtada o’ngdan uzluksiz bo’lishi ko’rsatiladi. Teorema isbor bo’ldi.
14.20-teorema. Agar darajali qatorning yaqinlashish radiusi
bo’lsa, bu qatorni oraliqda hadlab integrallash mumkin.
I s b o t. Shunday topa olamizki, bo’ladi. Berilgan darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Demak, da (14.27) darajali qator tekis yaqinlashuvchi. Unda (14.27) qatorning yig’indisi

uzluksiz bo’lib, ushbu bobning 5-§ da keltirilgan teoremaga ko’ra bu qatorni hadlab integrallash mumkin.

Teorema isbot bo’ldi.
Xususan, bo’lganda

bo’ladi. Bu qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng. Haqiqatdan ham, Koshi-Adamar teoremasidan foydalanib quyidagini topamiz:

14.21-teorema. darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’lsa, da bu qatorni hadlab differensiallash mumkin.
I s b o t. Avvalo berilgan(14.27) darajali qator hadlarining hosilalaridan tuzilgan ushbu



qatorning tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqtada yaqinlashuvchi bo’lishini ko’rsatamiz. Quyidagi tengsizliklarni qanoatlantiruvchi sonni olaylik. Unda bo’lib,
(14.44)
bo’ladi. Ravshanki, (
qator yaqinlashuvchi (uni Dalamber alomatiga ko’ra ko’rsatish qiyin emas). Unda

bo’ladi. Demak, ning biror qiymatidan boshlab, ( bo’lib, natijada uchun ushbu

tengsizlikka kelamiz.
bo’lganligi sababli qator absolyut yaqinlashuvchi.
Unda (14.44) munosabatni hisobga olib, Veyershtrass alomatidan foydalanib,
qatorning da yaqinlashuvchi bo’lishini topamiz. Demak, bu qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Shunday qilib, berilgan (14.27) darajali qator hadlarining hosilalaridan tuzilgan (14.43) qator tekis yaqinlashuvchi. U holda ushbu bobning 6-§ da keltirilgan 14.12- teoremaga ko’ra

bo’ladi.
Shuni ham aytish kerakki,(14.27) va (14.43) qatorlarning yaqinlashish radiuslari bir hil bo’ladi. Haqiqatdan ham, Koshi-Adamar teoremasidan foydalanib quyidagini topamiz:

Demak,

Bu xossadan quyidagi natija kelib chiqadi.
14.2-natija. Agar (14.27) darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’lsa, bu qatorni da istalgan marta differensiallash mumkin. Shunday qilib, yaqinlashish radiusi bo’lgan darajali qatorni hadlab integrallash va hadlab (istalgan marta) differensiallash mumkin va hosil bo’lgan darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi ham ga teng bo’ladi.
14.9- ta’rif. Agar funksiya da yaqinlashuvchi darajali qatorning yig’indisi bo’lsa, funksiya da analitik deb ataladi.
14.22-teorema. Ikkita

va

Darajali qatorlar berilgan bo’lib, (14.27) darajali qatorning yaqinlashish radiusi yig’indisi esa darajali qatorning yaqinlashish radiusi yig’indisi bo’lsin.
Agar da
(14.45)
bo’lsa, u holda uchun

ya’ni (14.27) va (14.45) darajali qatorlar bir xil bo’ladi.