4-ma’ruza. Sonli qatorlar. Absolyut yaqinlashuvchi qatorlar. Qatorlarni ko’paytirish (2 soat) Dars rejasi

Darsda qo’llaniladigan usullar: Ushbu fanga kerakli bo’lgan va algebra va matematik analiz fanlaridan o’tilgan mavzular qay darajada o’zlashtirilganligini tekshirish, o’z – o’zini tekshirish savollariga javoblar va topshiriqlarni bajarish uchun bahsli munozara, jonli muloqotni amalga oshirish, talabalarni yangi mavzu bo’yicha asosiy tushuncha va natijalarni o’rgatishda esa savol – javob, fikrlar hujumi, aqliy hujum, boomerang texnologiyasi va aqliy hujum kabi usullarning bir nechtasidan foydalanish nazarda tutiladi.


Mashg’ulotning xronologik xaritasi va darsning borishi:
Tashkiliy qism (5 minut): dars xonasining darsga tayorligini va sanitariya holatini kuzatish, davomat va talabalarning darsga tayyorligini tekshirish.
O’tilgan mavzuni mustahkamlash (10 minut): Talabalarning matematik analiz va algebra kurslaridan haqiqiy sonlar va haqiqiy o’zgaruvchili funksiyalar yuzasidan olgan bilimlari yuzasidan o’z–o’zini tekshirish savollariga javob berish va muammoli topshiriqlarni bajarishini tashkil etish orqali talabalarning bilim darajasini aniqlash (bunda har bir talaba o’z varianti bo’yicha yozma javob berishi ko’zda tutiladi).


Yangi mavzu bayoni (50 minut):
4.1. Sonli qatorlar. Kompleks cheksiz ketma-ketlikning
(4.1)
yig’indisiga sonli qator deyiladi.
. . . , . . . (4.2)
(4.1) qatorning qismiy yig’indilari deyiladi.
4.1-ta’rif. Agar (4.1) qatorning -chi qismiy yig’indisi da aniq
chekli limitga ega bo’lsa, u holda bu qator yaqinlashuvchi deyiladi. Aks holda, (4.1) qator uzoqlashuvchi deyiladi. - songa (4.1) qatorning yig’indisi deyiladi.
Demak,
( ). (4.3)
4.1-misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Bu qatorning qismiy yig’indisi
.
Bunda quyidagi tasdiqlar o’rinli
agar bo’lsa, u holda ;
agar bo’lsa, u holda ;
agar , ya’ni bo’lsa, u holda -mavjud emas;
chunki oxirgi holda , bo’lib
va
limitlar mavjud emas.
Demak, qator bo’lganda yaqinlashadi va uning yig’indisi bo’ladi. Ya’ni , .
Masalan, bo’lgan holda o’rinli.
Bundan yuqorida qaralgan qator yig’indisi uchun

qiymatni olamiz.
ayirmaga qatorning qoldig’i deyiladi. Qatorning yaqinlashishi uchun da qoldiqning nolga intilishi zarur va yetarli:
.
Agar (4.1) va qatorlar yaqinlashib, ularning yig’indilari mos holda va bo’lsa, u holda qator ham yaqinlashadi va uning yig’indisi uchun

tenglik o’rinli bo’ladi, bunda -ixtiyoriy kompleks sonlar. Buning isboti

tenglikdan da limitga o’tib hosil qilinadi.
Ketma-ketlikning yaqinlashishi haqida Koshi alomatini keltiramiz.
ketma-ketlikning yaqinlashishi uchun quyidagi shartning bajarilishi zarur va yetarlidir: uchun topilib, bo’lganda
, (4.4)
tengsizlik bajarilsa.
Bu alomatda uchun , deb olamiz. (4.1) qatorning yaqinlashishi uchun olinganda ham shunday topilib, barcha va uchun
(4.5)
tengsizlik o’rinli bo’lishi zarur va yetarlidir.
Bunda bo’lganda , bo’ladi, ya’ni .
Agar qator yaqinlashsa, u holda, uning umumiy hadining limiti nolga teng bo’ladi. Lekin bu zaruriy shartdir, ammo yetarli emas.
Masalan, - garmonik qator uchun bo’ladi, ammo bu qator uzoqlashadi va uning yig’indisi cheksizdir. Endi (3) qator uchun Koshi alomatini tekshiramiz
,
Bunda , bo’lganda. Ammo , shuning uchun yetarlicha katta bo’lganda istalgan kichik bo’ladi,
ya’ni , agar bo’lganda. Bunda , - -sonning butun qismi.