4-ma’ruza. Sonli qatorlar. Absolyut yaqinlashuvchi qatorlar. Qatorlarni ko’paytirish (2 soat) Dars rejasi

4.2. Sonli qatorlarning absolyut yaqinlashishi. Agar (4.1) qator hadlarini absolyut qiymatlaridan tuzilgan manfiy bo’lmagan
(4.6)
Qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (4.1) qator absolyut yaqinlashadi deyiladi.
Agar qator absolyut yaqinlashsa, u holda u yaqinlashadi. Darhaqiqat qator absolyut yaqinlashsa uchun topilib, bo’lganda tengsizlik - ning barcha qiymatlarida bajariladi.
, ,
tengsizlikdan (4.5) o’rinli bo’ladi. Teskari mulohaza o’rinli bo’lmaydi.
- Leybnis tipdagi qator yaqinlashadi. Uning hadlarini absolyut qiymatlaridan tuzilgan garmonik qator uzoqlashadi.
(4.1) qatordan ko’p yo’llar orqali qismiy cheksiz qatorlar
,
, (4.7)

tuzish mumkin, bunda qatorning har bir hadi faqat va faqat bitta qismiy qatorning hadi bo’ladi.
4.1- asosiy teorema (sonli qatorning absolyut yaqinlashishi haqida). Agar (4.1) qator absolyut yaqinlashsa, u holda
1) (4.7) qatorlar ham absolyut yaqinlashadi;
2) agar ularning yig’indilari mos holda bo’lsa, u holda
(4.8)
qator absolyut yaqinlashadi;
3) qatorning yig’indisi uchun
(4.9)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot. qator yaqinlashadi, chunki uning qismiy yig’indisi

chegaralangan va monoton kamaymaydi. Shuning uchun u chekli limitga ega. Xuddi shunday (4.7) ning boshqa qatorlari ham absolyut yaqinlashadi. Endi
, . . .
belgi kiritib

ifodaga kelamiz, bu yerda (4.6) qatorning birinchi qatoriga qarashli bo’lmagan indekslar.
Agar - belgilangan ixtiyoriy natural son va istalgancha katta natural son bo’lsa, u holda
,
chunki yetarli katta bo’lganda albatta (4.7) qatorlarning birinchi - ta qatorini hadlari bo’ladi. Endi uchun topilib, bo’lganda bajariladi ( -yaqinlashuvchi qatorning qoldig’i). Demak, bo’lganda
.
(4.9) isbot bo’ldi.
Natijada

qatorning absolyut yaqinlashishini ko’rsatamiz
, . . .
ifodalardan da
, . . .
tengsizliklarga kelamiz. Endi
.
Demak, monoton kamaymaydigan manfiy bo’lmagan ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan, shuning uchun u chekli limitga ega. 4.1-Teorema to’liq isbot bo’ldi.