4-ma’ruza Sоnlar kеtma-kеtligi va uning limiti. Yaqinlashuvchi kеtma-kеtliklarning хоssalari. Reja

2-teorema. Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi va



bo‘lib, bo‘lsa, u holda shunday topiladiki, bo‘lganda



bo‘ladi.

Isbot. Aytaylik,

bo‘lsin.   0 sonining ixtiyoriyligidan foydalanib, deb qaraymiz.

Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan, uchun, jumladan, uchun, shunday topiladiki, bo‘lganda

bo‘ladi. Ravshanki,

Bu tengsizliklardan bo‘lganda

bo‘lishi kelib chiqadi.

( hol uchun ham teorema yuqoridagidek isbot etiladi).

3-teorema. Agar va ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib,

1)

2)

bo‘lsa, u holda bo‘ladi.

Isbot. Shartga ko‘ra

.

Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan:

bo‘ladi.

Agar deyilsa, unda uchun bir yo‘la

tengsizliklar bajariladi.

Ravshanki,

Bu tengsizliklardan hamda teoremaning 2-shartidan foydalanib topamiz:

.

Keyingi tengsizliklardan

va bo‘lgani uchun , ya’ni bo‘lishi kelib chiqadi.

Xuddi shunga o‘xshash, hamda uchun bo‘lishidan tengsizlik kelib chiqishi ko‘rsatiladi.

4-teorema. Agar va ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib,

1)

2) uchun

bo‘lsa, u holda ketma-ketlik yaqinlashuvchi va



bo‘ladi.

Isbot. Shartga ko‘ra

Limit ta’rifiga binoan:

bo‘ladi. Agar deyilsa, unda uchun

tengsizliklar bajariladi. Teoremaning 1-shartidan foyda-lanib topamiz:

.

Keyingi tengsizliklardan

ya’ni

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak,

Shuni isbotlash talab qilingan edi.

1-misol. Ushbu

limit topilsin.

Ravshanki, barcha bo‘lganda

bo‘ladi. Aytaylik,

bo‘lsin. Unda

(1)

va bo‘ladi.

Bernulli tengsizligidan foydalanib topamiz:

. (2)

(1) va (2) munosabatlardan

va

tengsizliklar kelib chiqadi. Agar

ekanini e’tiborga olsak, unda 4-teoremaga ko‘ra

bo‘lishini topamiz.

2-misol. Ushbu

limit topilsin.

Ravshanki,

Demak,

.

4-teoremadan foydalanib topamiz: