4-ma’ruza Chiziqli tenglamalar sistemalari

Gаuss usuli yordamida (1) ko’rinishdagi har qanday tenglamalar sistemasini yechish mumkin. Buning uchun tenglamalar sistemasining kengaytirilgan matritsasini, ya’ni sistema matritsasini ozod xadlardan tuzilgan ustun bilan to’ldirilgan matritsani tuzib olish kerak:
.
Kengaytirilgan matritsaning satrlari ustida elementar almashtirishlarni bajarib, sistemani zinapoyasimon ko’rinishga keltiriladi. Shundan so’ng, hosil bo’lgan matritsaga mos keluvchi yangi sistema yoziladi va uni noma’lumlarni ketma-ket yo’qotish usuli bilan yechiladi.
1-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini а) teskari matritsa usuli bilan; б) Kramer formulalari yordamida yeching.
Yechish. а)
bo’lsin. U holda berilgan sistema
matritsaviy ko’rinishga keladi. determinantni hisoblaymiz:

bo’lgani uchun xosmas matritsa bo’adi va teskari matritsa mavjud bo’ladi. ni topamiz:
,

Bundan Endi (4) formuladan topamiz:

ya’ni sistemaning yechimi bo’ladi.
б) Sistemaning determinanti Kramer teoremasiga ko’ra sistema yagona yechimga ega bo’ladi.
determinantlarni hisoblaymiz:

Endi (5) Kramer formulalari yordamida topamiz: ya’ni sistemaning yechimi bo’ladi.
2-misol. Sistemani Gauss usulida yeching

Yechish. Ko’rilayotgan sistemaning kengaytirilgan matritsasini yozib olamiz. Eng avvalo bo’lishiga erishish kerak. Buning uchun birinchi va ikkinchi satrlarni o’rinlarini almashtiramiz:
.
Endi birinchi satrda element tagida nollarni hosil qilamiz. Buning uchun birinchi satr elementlarini ketma ket va ga ko‘paytirib, mos ravishda ikkinchi, uchinchi va to‘rtinchi satr elementlariga qo‘shamiz. Hosil bo‘lgan matritsada bo‘lishi uchun ikkinchi va to‘rtinchi satrlarning o‘rinlarini almashtiramiz va ikkinchi satrni ga ko‘paytiramiz:

Ikkinchi satr elementlarini ketma ket va ga ko‘paytirib, mos ravishda uchinchi va to‘rtinchi satr elementlariga qo‘shamiz. Hosil bo‘lgan matritsada uchinchi satr elementlarini ga ko‘paytirib to‘rtinchi satr elementlariga qo‘shamiz. Natijada zinapoyasimon ko‘rinishdagi matritsaga kelamiz:

Oxirgi matritsadan quyidagini hosil qilamiz:

Bundan, Hosil bo’lgan qimatlarni birinchi tenglamaga qo’yib, ekanligini topamiz.
Shunday qilib, sistemaning yechimi