4 authors, including: Ablakul Abdirashidov Samarkand State University 109

Eyler oshkor usulining yaqinlashishi

Faraz qilaylik, y(x _i) – yuqoridagi (1)-(2) Koshi masalasining x _i tugundagi yechimi, y_i – Eylerning oshkor usuli bilan topilgan shu tugund- agi toʻr yechimi boʻlsin. Ushbu

_i = y(x_i) – y_i , i = 0, 1, …, N (26) miqdor toʻr yechimning x_i tugundagi xatoligi, ushbu

_i=y(x_i) – y_i , i = 0, 1, …, N (27) miqdor toʻr yechimning x_i tugundagi absolyut xatoligi deb ataladi.

Shunday savol tugʻiladi, toʻr qadami nolga intilganda (27) miqdorlar ham nolga intiladimi:

h0 da

max 

i
i0,1,...,N

^{ 0} , (28)

yani toʻr cheklanmagan holda maydalashtirilib borilsa bu miqdorlar nolga intiladimi?

Bu savolga javob berish uchun avvalo (1) tenglamaning oʻng tarafi- dagi f funksiyaga shunday qoʻshimcha shart qoʻyishimiz lozimki, bu tenglamaning bizga kerakli boʻlgan yechimi [x₀, x ₀+L] kesmada mavjud, yagona va silliq boʻlsin. Aynan shunday deb oʻylaylikki, f funksiya x, y oʻgaruvchilar juftligi tekisligidan x ₀  x  x ₀+L tengsizlik bilan olingan kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida nafaqat uzluksiz, balki bu kenglikda chegaralangan boʻlishi ham lozim:

f(x,y)  M₁, barcha x  [x₀, x₀+L] va y  R lar uchun. (29)

Bundan tashqari, oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizlik talabini qoʻyish bilan birga biz tenglamaning oʻng tarafidagi f funksiya hosilasining ham shu kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizligini talab qilib qoʻygan boʻlamiz:

f_x(x,y)  M₂, barcha x  [x₀, x₀+L] va y  R lar uchun. (30)

f_y(x,y)  M₃, barcha x  [x₀, x₀+L] va y  R lar uchun. (31) (29)-(31) formulalardagi M₁, M₂, M₃ oʻzgarmaslar kenglikning barcha

nuqtalari uchun bir xil chekli haqiqiy sonlar.

Faraz qilaylik, y_i , y_i+1 – Eylerning oshkor usuli bilan x _i , x_i+1 tugun- larda topilgan toʻr yechimlar, y⁽ⁱ⁾ – (1) differensial tenglamaning grafigi (x_i

, y_i) nuqtadan oʻtuvchi yordamchi yechimlari (yaʼni (15)-(16) Koshi masa- lasining yechimlari) boʻlsin.

y⁽ⁱ⁾ yordamchi yechimning x _i+1 tugundagi y ⁽ⁱ⁾(x_i+1) qiymati uchun toʻr yechimning ushbu

^i+1 ^{= y(x}i+1^{) – y}i+1

xatolik formulasidan foydalanib, xatolikni quyidagicha:

_i+1 = (y(x_i+1) – y⁽ⁱ⁾(x_i+1))+

+( y⁽ⁱ⁾(x_i+1) – y_i+1), yaʼni uni ikkita qoʻshi- luvchilar yigʻindisi shaklida yoza olamiz:

  ^

_{ } (1)

^{  ( 2)} , (32)

i 1

bunda

i 1 i 1


(1)

i1

 y(x_i1 )  y (x

i1
(i)

⁾ , (33)


(2)

i1

 y⁽ⁱ⁾ (x

)  y<sub>i1

. (34)</sub> 9-rasm.

i1
(33) va (34) formulalardagi qoʻshiluvchilarning maʼnosini ochaylik. Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usuli algoritmining qara-

layotgan qadami [x_i, x _i+1] kesmada izlanayotgan y yechim grafigining boʻlagini y⁽ⁱ⁾ yordamchi yechim grafigiga oʻtkazilgan urinma boʻlagi bilan almashtirishdan iborat. Bu jarayon quyidagi ikki bosqichda amalga oshiri- ladi:

1. 
   izlanayotgan y yechim grafigi y ⁽ⁱ⁾ yordamchi yechim grafigi bilan
   

1i
almashtiriladi, natijada izlanayotgan y(x _i+1) yechim oʻzining yordamchi yaqinlashishiga (33) xatolik bilan almashtiriladi;

y ⁽ⁱ⁾ (x _ )

2. 
   y ⁽ⁱ⁾ yordamchi yechim grafigi unga oʻtkazilgan urinma – sodda
   

toʻgʻri chiziq bilan almashtiriladi, natijada

y ⁽ⁱ⁾ (x _ )

yaqinlashish

1i
qoʻshimcha (34) xatolik bilan y_i+1 yaqinlashishga almashtiriladi.

Yordamchi yechimni uning grafigiga oʻtkazilgan urinmasi orasidagi xatolikni ifodalovchi (34) qoʻshiluvchi algoritmning (i+1)-chi qadamidagi qoʻshimcha xatolikni ifodalaydi. Shuning uchun u (i+1)-chi qadamidagi yoʻl qoʻyilgan lokal xatolik, boshqacha aytganda, (i+1)-chi qadamning lo- kal xatoligi deb ataladi.

(33) qoʻshiluvchining kelib chiqish maʼnosi esa boshqacharoq, yaʼni u oldingi x_i tugundagi y_i - toʻr yechim y(x_i) - aniq yechimdan farq qilishidan kelib chiqadi (agar bu qiymatlar mos tushganda edi, u holda y ⁽ⁱ⁾ – yordam- chi yechim yechimning yagonaligi haqidagi teoremaga koʻra izlanayotgan y yechim bilan mos tushgan boʻlar edi va (33) qoʻshiluvchining qiymati nolga aylanardi). Shunga koʻra y_i va y(x_i) miqdorlar orasidagi farq algorit- mning oldingi qadamida yoʻl qoʻyilgan lokal xatolikdan kelib chiqadi, shuning uchun (33) xatolik (i+1)-chi qadamning jamlangan xatoligi deb ataladi.

7. 
   izoh. Algoritmning birinchi qadamida, yaʼni oldindan berilgan y ₀
   

qiymat asosida y ₁ toʻr yechimni topishda urinma aslida izlanayotgan

yechimga oʻtkazilgan boʻladi (6-rasm), chunki bu holda jamlangan xatolik yoʻq va x₁ tugundagi ₁ – toʻr yechimning toʻla xatoligi birinchi qadamn-

ing

( 2)



1

lokal xatoligi bilan mos tushadi. Keyingi qadamdan boshlab esa,

umumiyroq qilib aytganda, uhar ikkala xatolik noldan farq qilib boshlaydi.

Aynan ikkinchi qadamda ham

 ^{( 2)} - lokal xatolik va ham

 ⁽¹⁾ - jam-

2

2
langan xatolik birincha qadamda yoʻl qoʻyilgan y ₁ toʻr yechimning y(x ₁) aniq yechimdan farqi boʻlgan lokal xatolik hisobiga paydo boʻladi, shuning uchun y⁽¹⁾ yordamchi yechim izlanayotgan y yechimdan farq qilib boshlaydi.

Xuddi shunday, uchinchi qadamda, umuman aytganda, nolinchidan

boshqalarida, ham

 ^{( 2)} - lokal xatolik va ham

 ⁽¹⁾ - jamlangan xatolik x ₂

3

3
tugundagi y ₂ tor yechimning y(x ₂) aniq yechimdan farqi hisobiga paydo boʻladi, yaʼni y₂ tor yechimning xatoligi

_{  } (1) _{ } (2) _.

2 2 2

Bu yerdagi ikkinchi qoʻshiluvchi lokal xatolik boʻlib, ikkinchi qadamda yoʻl qoʻyilgan, birinchisi esa ikkinchi qadamda yoʻl qoʻyilgan jamlangan


1
xatolik (bu xatolik birinchi qadamda yoʻl qoʻyilgan ^{ ( 2)} - lokal xatolik

hisobiga paydo boʻlgan). Shuning uchun uchinchi qadamdagi jamlangan xatolikni algoritmning oldingi birinchi va ikkinchi qadamlarida yoʻl qoʻyilgan lokal xatoliklarning natijasi deyish mumkin.