3-Mavzu Statistik ko’rsatkichlar. O’rtacha miqdorlar

3.7.Moda va mediana. Variatsiyon qatorlar.

O’rtacha arifmetik va garmonik miqdorlar to’plam uchun xos bo’lgan umumiy yo’nalishni, qonuniyatni ochib bersa, ikkinchi tomondan, belgining alohida qiymatlarini niqoblaydi. Vaholanki, ayrim xodisa va jarayonlarni kuzatishda alohida belgilarning aniq qiymatlarini hisobga olish zaruriyati tug’iladi. Bunday hollarda statistikada moda va mediana qo’llaniladi.

Statistikada moda deb, o’rganilayotgan to’plamda belgi darajasi (variantasi) ning eng ko’p holda uchrashishiga aytiladi. Buni hisoblashda quyidagi formula qo’llaniladi:
(13)
bu yerda:
M_o – moda;
X_o(moda) – moda oralig’i (intervali)ning qo’yi chegarasi;
d_o(moda) – moda oralig’i (intervali)ning kattaligi;
f₁ – moda oralig’i (intervali)ning oldingi chegarasidagi vazni;
f₂ – modani o’z ichiga olgan oraliq (intervali)ning vazni (varianti, uchrashish, tezligi);
f₃ – moda oralig’i (intervali)ning keyingi chegarasidagi vazni.
Bu formulani hisoblash tartibini quyida keltirilayotgan jadval ma’lumotlari asosida hisoblab chiqamiz (46-jadvalga qarang):
46-jadval
Tuman xo’jaliklarining paxta xosildorligi bo’yicha taqsimlanishi (s/ga).

Paxta xosildorligi bo’yicha xo’jaliklar guruhi	Xo’jaliklar soni, f	Jamlanib borish tartibidagi vaznlar yig’indisi, s(Q)
20,0 gacha	6	6
20,0-24,0	8	14
24,0-28,0	10	24
28,0-32,0	6	30
32,0 dan yuqori	4	34
Jami	34	-

Endi modani yuqoridagi formulaga qo’yib hisoblaymiz:

yoki 25,4(s/ga) teng bo’ladi.
Yana bir misol orqali ushbu formulani hisoblash tartibini ko’rib chiqamiz (172 betdagi 47-jadvalga qarang).
Endi modani yuqoridagi formulaga qo’yib hisoblaymiz:
yoki 17,0 sigirga teng bo’ladi.
47-jadval
Viloyat xo’jaliklari bo’yicha har 100 ga qishloq xo’jaligi yerlariga to’g’ri keladigan sigirlarning taqsimlanishi.

Har 100 ga qishloq xo’jaligi yerlariga to’g’ri keladigan sigirlarning guruhi	Xo’jaliklar soni, f	Jamlanib borish tartibidagi vaznlar yig’indisi, s(Q)
5,0-10,0	6	6
10,0-15,0	12	18
15,0-20,0	20	38
20,0-25,0	10	48
25,0-30,0	8	56
30,0-35,0	4	60
Jami	60	-

Statistikadamediana deb, o’rganilayotganto’plamni teng ikkiga bo’luvchi ko’rsatkichga aytiladi. Buni hisoblashda quyidagi formula qo’llaniladi:

(14)
bu yerda:
Me – mediana;
X_o(med) – mediana oralig’i (intervali)ning quyi chegarasi;
d_(med) – mediana oralig’i (intervali)ning kattaligi;
- variantalar soni yig’indisi;
f_m – mediana oralig’i (intervali)ning vazni;
S_m-1 – mediana oralig’i (intervali) ning oldingi chegarasidan jamlangan vaznlar yig’indisi.
Bu formulani hisoblash tartibini oldin keltirilgan (171-betdagi 46-jadval va172-betdagi 47-jadval) ma’lumotlar asosida hisoblaymiz:
1. 46-jadval ma’lumotlari asosida:
s/ga teng bo’ladi,
ya’ni, xo’jaliklarning yarmi xosildorligi 25,2 s/ga, qolgan yarmi esa undan yuqori xosildorlikka tengligini ko’rish mumkin.

2. 
   47-jadval ma’lumotlar asosida:
   

sigirga teng bo’ladi.
ya’ni, xo’jaliklarning yarmi 18,0 sigirga, qolgan yarmi esa undan yuqori sigirlar soniga tengligini ko’rish mumkin.
Medianani boshqacha usul bilan ham hisoblash mumkin, ya’ni:

a)
b) to’g’ri keladi
Demak, moda va mediananing qiymati o’rganilgan qatordagi tafovutga ham, vaznlar salmog’iga ham bog’liq emas. Shuning uchun ham moda va medianada to’plamning muhim xususiyatlari o’z aksini topa olmaydi. Bu esa moda va mediananing faqat ayrim xususiy masalalarni yechishda, ya’ni to’plam o’rtasidagi ko’rsatkichga mos tushuvchi optimal (me’yoriy) miqdorlarni aniqlashda ishlatilishiga olib keladi. Shu holatlardan kelib chiqqan holda, moda va mediana o’rtacha miqdor funksiyasini bajara olmaydi. Ularning qiymati faqatgina simmetrik qatorlarida o’rtacha qiymatiga mos tushishi mumkin.
Bu hisoblangan formulalar amaliyotda quyidagi sohalarda qo’llanib kelinmoqda:

• 
  Moda formulasi - xalqning eng ko’p talabi bo’lgan kiyim-kechaklar va oyoq kiyimlarni ishlab chiqarilishini rejalashtirishda, yo’lovchi tashish yo’nalishini o’rganishda, kolxoz bozorlaridagi umumiy tovar aylanishi va narxlarning o’zgarishini, aniqlaщda keng qo’llaniladi.
  
• 
  Mediana formulasi – ishlab chiqarilgan maxsulotlarning sifatini nazorat etishda, aholini suv bilan ta’minlash maqsadida suv olinadigan kolonkasini qo’rish loyihasini tuzishda, yoqilg’i quyish shaxobchalarini qurish loyihalarini tuzishda, maktablarni qurishda keng qo’llaniladi.
  

Mediananing eng asosiy tip (toifa) ko’rsatkichlari quyidagilardan iboratdir:

• 
  Kvartillar – qatorlarni 4-qismga teng bo’lib o’rganadi;
  
• 
  Desillar – qatorlarni 10-qismga teng bo’lib o’rganadi;
  
• 
  Persentillar – qatorlarni 100-qismga teng bo’lib o’rganadi.
  

Endi mediananing shu tip ko’rsatkichlarini ko’rib chiqamiz:
Yuqorida ta’kidlab o’tilgandek, kvartillar o’rganilayotgan qatorlarni 4-qismga teng bo’lib o’rganadi. Shuni ta’kidlab o’tish kerak-ki, quyi (yoki birinchi) kvartil (Q₁) – o’rganilayotgan to’plamni – 1/4 ni 3/4 ga bo’lgan munosabatda o’rgansa; yuqori (yoki uchinchi) kvartil (Q₃) – o’rganilayotgan to’plamni – 3/4 ni 1/4 ga bo’lgan munosabatda o’rgansa; ikkinchi kvartil esa (Q₂=Me)ga tengligi oldin medianani hisoblashdan o’rganilgan.
Endi ushbu formulalarni quyida keltirib o’tamiz:
(15)
(16)
bu yerda:
X_o(kvar) – quyi oralig’i (intervali) ning chegarasi;
d_(kvar) – kvartil oralig’i (intervali)ning kattaligi;
- quyi kvartil oralig’i (intervali) ning oldingi chegarasidan jamlangan vaznlar yig’indisi;
- yuqori kvartil oralig’i (intervali) ning oldingi chegarasidan jamlangan vaznlar yig’indisi;


- quyi va yuqori kvartillarning oraliq (interval) vazni.
Endi, bu formulalarni hisoblash tartibini 172-betdagi 47-jadval ma’lumotlari asosida hisoblab chiqamiz:
yoki 14,0 sigirga to’g’ri keladi.
yoki 24,0 sigirga to’g’ri keladi.
Demak, ushbu hisoblangan ko’rsatkichlar shuni ko’rsatib turibdiki, 1/4 xo’jaliklarda 14,0 ta sigir to’g’ri keladi har 100 ga qishloq xo’jaligi yerlariga, 1/2 xo’jaliklarida 18,0 ta sigir to’g’ri keladi har 100 ga qishloq xo’jaligi yerlariga (bu ko’rsatkich oldin medianani hisoblashda hisoblangan, 173-betga qarang); 3/4 xo’jaliklarida esa 24,0 sigir to’g’ri keladi har 100 ga qishloq xo’jaligi yerlariga.
Endi, shu tartibda desillar va persentillar formulalarini yozib chiqamiz:
1. (17)
2. va hokazo (Desillilar formulalari).
1. (18)
2. va hokazo (Persentillar formulalari).
Ushbu formulalarni hisoblash uslubi kvartillarni hisoblash uslubiga to’liq mos keladi.
Demak, yuqoridagi hisoblangan mediana ham, kvartillar ham, desillar ham, persentillar ham tartibli statistikaga tegishli bo’lib, bunda variantalar o’rganilayotgan qatorda ma’lum tartibda joyni egallab turadi. Bu formulalardan foydalanish esa o’rganilayotgan to’plam qatorlariga har tomonlama tahlil etish va olingan natijalarga to’liq tavsifnoma berish imkonini beradi.

1.