3-Ma’ruza Mavzu: Tеkislikda elеmеntar to‘plamlar va ularning o‘lchоvi. Tеkislikdagi to‘plamning tashqi o‘lchоvi va uning хоssalari. Reja

5-ta’rif. Bizga A ⊂ E to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy ε > 0
uchun shunday B ⊂ E elementar to‘plam mavjud bo‘lib, µ*(A∆B) < ε
tengsizlik bajarilsa, u holda A Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam deyiladi.
Agar A Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam bo‘lsa, uning o‘lchovi deb tashqi
o‘lchovini qabul qilamiz.
bilan E ning barcha o‘lchovli qism to‘plamlaridan tashkil topgan
sistemani belgilaymiz. µ bilan to‘plam funksiyasining dagi qismini
belgilaymiz, ya’ni ixtiyoriy uchun µ(A) = µ*(A). Aniqlanish
sohasi bo‘lgan µ to‘plam funksiyasi Lebeg o‘lchovi deyiladi. Shunday
qilib, o‘lchovli to‘plamlar sistemasi va unda Lebeg o‘lchovi µ aniqlandi.
Bizning asosiy maqsadimiz o‘lchovli to‘plamlar sistemasi ni chekli yoki sanoqli sondagi to‘plamlarning birlashmasi va kesishmasiga nisbatan
yopiqligini ko‘rsatishdan, ya’ni ning σ algebra tashkil qilishini isbotlashdan iborat.
2-eslatma. Agar (7) tenglikda aniq quyi chegara A to‘plamni qoplovchi barcha elementar to‘plamlar bo‘yicha olinsa, A to‘plamning Jordan
ma’nosidagi tashqi o‘lchovi hosil bo‘ladi, u j^*(A) bilan belgilanadi, ya’ni

Ushbu miqdor A to‘plamning Jordan ma’nosidagi ichki
o‘lchovi deyiladi. Agar j^*(A)=j_*(A) bo‘lsa, u holda A Jordan ma’nosida
o‘lchovli to‘plam deyiladi.
Shuni ta’kidlash joizki, agar A Jordan ma’nosida o‘lchovli to‘plam bo‘lsa,
u Lebeg ma’nosida ham o‘lchovli to‘plam bo‘ladi va bu o‘lchovlar o‘zaro teng
bo‘ladi.
Hozir biz Lebeg ma’nosida o‘lchovli, ammo Jordan ma’nosida o‘lchovli
bo‘lmagan to‘plamga misol keltiramiz.
1-misol. A ⊂ E birlik kvadratdagi barcha ratsional koordinatali nuqtalar to‘plami bo‘lsin. Uning Lebeg ma’nosida o‘lchovli, ammo Jordan ma’nosida
o‘lchovli emasligini isbotlang.
Isbot. A va E\A to‘plamlar E da zich bo‘lganligi uchun
j^*(A)=1, j^*(E\A)=1
tengliklar o‘rinli. Bu yerdan j_*(A)=0 va j^*(A)≠ j_*(A). Demak, A to‘plam
Jordan ma’nosida o‘lchovli emas. Ma’lumki, A sanoqli to‘plam, shuning uchun uning elementlarini (x_k, y_k), k ∈ ℕ ko‘rinishda nomerlab chiqish mumkin. Shunday ekan,

Ikkinchi tomondan ixtiyoriy k ∈ ℕ uchun m(P_k) = 0. Bu yerdan µ^*(A) = 0
ekanligi kelib chiqadi. Shuni ta’kidlash lozimki, tashqi o‘lchovi nolga teng
bo‘lgan har qanday to‘plam o‘lchovli to‘plamdir. Buning uchun elementar
to‘plam sifatida B = ∅ ni olish yetarli:
µ^*(A∆B) = µ^*(A∆∅) = µ^*(A) = 0 < ε.
Demak, A Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam. Shunday qilib, A Lebeg ma’nosida o‘lchovli bo‘lgan, lekin Jordan ma’nosida o‘lchovli bo‘lmagan to‘plamga
misol bo‘ladi.