3-Ma’ruza Mavzu: Tеkislikda elеmеntar to‘plamlar va ularning o‘lchоvi. Tеkislikdagi to‘plamning tashqi o‘lchоvi va uning хоssalari. Reja

2. Tekislikdagi to‘plamlarning Lebeg o‘lchovi
Geometriya va klassik analizda uchraydigan to‘plamlar faqatgina elementar to‘plamlardan iborat bo‘lmaydi. Shu sababli o‘lchov tushunchasini, uning xossalarini saqlagan holda elementar to‘plamlar sistemasi dan kengroq to‘plamlar sistemasi uchun aniqlashga harakat qilamiz.
Lebeg o‘lchovi nazariyasini bayon qilish jarayonida bizga nafaqat chekli, balki cheksiz sondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar birlashmalarini ham qarashga to‘g‘ri keladi. Bunda birdaniga cheksiz o‘lchovli to‘plamlarga duch kelmaslik uchun, dastlab birlik kvadratda saqlanuvchi to‘plamlar bilan chegaralanamiz.
4-ta’rif. Ixtiyoriy to‘plam uchun
(7)
son A to‘plamning tashqi o‘lchovi deyiladi. Bu yerda aniq quyi chegara A
to‘plamni qoplovchi to‘g‘ri to‘rtburchaklarning barcha chekli yoki sanoqli sistemalari bo‘yicha olinadi.
1-eslatma. Agar A− elementar to‘plam bo‘lsa, u holda µ*(A) = m (A).
Haqiqatan ham, A− elementar to‘plam to‘g‘ri to‘rtburchaklarning birlashmasi ko‘rinishida tasvirlansin, u holda
(8)
{P_k} to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi A to‘plamni qoplaydi, shuning uchun
(8) o‘rinli.
Ikkinchi tomondan, {Q_j} sistema A to‘plamni qoplovchi chekli yoki sanoqli
sondagi ixtiyoriy to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi bo‘lsa, 1-teoremaga ko‘ra
kelib chiqadi. Shuning uchun
(9)
Demak, (8) va (9) lardan tenglikka ega bo‘lamiz. Shunday
qilib, da va o‘lchovlar ustma-ust tushar ekan.
3-teorema. Agar chekli yoki sanoqli sondagi {A_n} to‘plamlar sistemasi
uchun bo‘lsa, u holda

tengsizlik o‘rinli. Xususan, agar bo‘lsa, µ*(A) ≤ µ*(B) bo‘ladi.
Isbot. Ixtiyoriy va har bir A_n uchun tashqi o‘lchov ta’riga ko‘ra
to‘g‘ri to‘rtburchaklarning shunday chekli yoki sanoqli {P_nk} sistemasi mavjudki,
va
bo‘ladi. U holda quyidagilar o‘rinli:
va
ε > 0 sonning ixtiyoriyligidan teoremaning isboti kelib chiqadi.
Ma’lumki, elementar to‘plamlar sistemasi da va µ* lar ustma-ust tushadi. Demak, 1-teorema 3-teoremaning xususiy holini ifodalaydi.