3-ma’ruza. Chiziqli algebraga kirish. Vektor va matrisalar bilan ishlash. Reja

5-teorema. Ixtiyoriy maxsusmas matrisa uchun unga teskari matrisa mavjud.
Isboti. Faraz qilaylik, matrisa tartibli kvadrat matrisa bo’lib, bo’lsin. A matrisaning elementlariga mos keluvchi algebraik to’ldiruvchilardan tuzilgan ushbu matrisani qaraymiz:

Agar bu matrisani transponirlasak,

matrisaga ega bo’lamiz. 1 matrisani odatda matrisaga qo’shma matrisa deyiladi.
Qo’shma matrisaning barcha elementlarini matrisaning determinantiga bo’lib, qo’yidagi matrisani hosil qilamiz:

Hosil bo’lgan bu matrisani matrisaga teskari ekanini, ya’ni ekanligini isbot qilamiz. Buning uchun determinantning xossalariga asoslanib, va matrisalarning ko’paytmasini hisoblaymiz:

Demak, . Bundan ekani kelib chiqadi.
Eslatmalar.

1. 
   Berilgan maxsusmas matrisa uchun uning teskari matrisasi yagonadir.
   
2. 
   Maxsus kvadrat matrisa uchun teskari matrisa mavjud emas.
   

Endi ushbu

matrisa uchun teskari matrisani topaylik. Buning uchun avval determinantni tuzamiz va uni hisoblaymiz.

Demak, maxsusmas matrisa.
Endi qo’shma matrisani tuzamiz. Buning uchun matrisaning satr elementlarining algebraik to’ldiruvchilarini topamiz va ularni mos ravishda ustunlarga joylashtiramiz:


Shunday qilib,

Nihoyat, ning barcha elementlarini ga bo’lamiz, u holda teskari matrisa ushbu ko’rinishga ega bo’ladi:

Tekshirish ko’rsatadiki, . Haqiqatan,

Shu yo’l bilan ekanini isbotlash mumkin.
Teskari matrisa quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Teskari matrisaning determinanti berilgan matrisa determinantining teskari qiymatiga teng, ya’ni
   

2) Kvadrat matrisalar ko’paytmasi uchun teskari ikkinchi matrisaga teskari matrisaning birinchi matrisaga teskari matrisaga ko’paytmasiga teng, ya’ni

3) Transponirlangan teskari matrisa berilgan transponirlangan matrisaning teskarisiga teng, ya’ni

4) Teskari matrisaning teskarisi berilgan matrisaning o’ziga teng, ya’ni
.