3 I bob. O’quvchilarda matematik tushunchalarni shakllantirish va ularni o’rganishga mantiqiy yondashish

2-§.Matematik tushunchalarni ta’riflash
Haqiqiy dunyodagi biror narsa yoki hodisa haqidagi tushunchaning ta’rifi ,,shu narsa yoki hodisaning asl o’zi nima?” degan savolga javob beradi.
Fanda odatda ,, ta’rif deganda qaralayotgan tushunchalarni bashqalaridan farqlashga , fanga kiritilgan yangi termin mazmunini oydinlashtirishga imkon beruvchi mantiqiy usul tushiniladi”[44;5]. Shuning uchun ,,ta’rif “ orqali ikkita har xil mantiqiy amalni belgilash nazarda tutiladi: birinchidan, yangi tushunchaning mazmunini ochib berish; ikkinchidan , shu tushuncha tavsilotlarining o’rnini bosuvchi yangi termin kiritish.
Tushunchaning ta’rifi, ya’ni definetsiya (inglizcha Defenitio, qisqacha def) ta’riflanuvchi yoki defeniendum ( inglizcha Definiendum, qisqacha Dfd ) va ta’riflovchi tushuncha yoki definiens ( inglizcha Definiensa qisqacha Dfn)dan tuziladi. (Greklarda homos so’zi ,, chegaraviy ustun” degan ma’noni bildiradi. Qadimgi gretsiyada kishilar bir yer uchastkasini ikkinchisidan ajratib turish uchun yog’och qoqib qo’yishgan. Ular bu so’zni lotincha finish so’zidan olingan bo’lib, ke yingi so’z ,,chegara” , ,, biror narsaning oxiri” degan ma’noni bildiradi. Rus tilidagi ,, opredeleniye” so’zi ham ,, delit” so’zidan kelib chiqqan.)
Tushunchaning ta’rifi ikki xil usul bilan tuzilishi mumkin:
1) Berilgan tushunchaning hajmiga kiruvchi barcha obyektlar to’plamiga asoslaniladi. Masalan: ,, tekislikni o’z-o’ziga quyidagicha akslantirishiga siljitish deyiladi: o’q va markaziy simmetriya, parallel ko’chirish, aylantirish va ularning ko’paytmasi;
2) Berilgan tushunchnani aniqlovchi alomatlar to’plamiga asoslaniladi. O’qitishda xususan matematikada, tushunchalar ikkinchi yo’l bilan ta’riflanadi. Bunday ta’rifni tuzishda tushunchaning barcha muhim alomatlari sanab o’tilmaydi, biroq ular tushunchaning mazmunini ochib berish uchun yetarli bo’lishi kerak. Masalan, parallelogramning muhim alomatlari quyidagilardan iborat:
a) To’rtburchak;
b) Qarama-qarshi tomonlari juft-jufti bilan teng;
g) Diagollari kesisish nuqtasida teng ikkiga bo’linadi;
d) Qarama-qarshi burchaklari teng va hokazo.
Parallelogramni ta’riflashda a) va b) alomatlar bilan ( qarama-qarshi tomonlari juft-jufti bilan parallel bo’lgan to’rtburchak parallelogramm deyiladi ) yoki a) va g) alomatlar bilan ( diagollari kesishib, kesishish nuqtasida teng ikkiga bo’linuvchi to’rtburchak parallelogramm deyiladi) chegaralanish mumkin. Bundan ko’rinadiki, tushunchani ta’riflash uchun har doim ham faqat birgina muhim alomatlar mavjud bo’lavermaydi. Tushunchani ta’riflash uchun tanlanadigan alomatlar soni turlicha miqdorda bo’ladi.
Ta’rif mantiqiy jihatdan to’g’ri bo’lishi uchun unda eng yaqin jins tushunchasi va tur jihatdan farqi ko’rsatilgan bo’lishi kerak. Jins tushunchasi ta’riflanuvchi tushunchaning kengroq sinfga mansub bo’lgan tushunchalarnikiga o’xshash xossasi borligini ko’rsatadi. Tur jihatidan farqi esa ma’lum bir tushunchaning jinsga mansub bo’lgan boshqa barcha tushunchalaridan nima bilan farq qilishini ko’rsatib turadi. Jumladan, kvadrat tushunchasini bunday ta’riflash mumkin. ,,Barcha tomonlari teng bo’lgan to’g’ri to’rtburchak kvadrat deyiladi” .
Tushunchani uning muhim alomatlari orqali ta’riflash formalar -mantiqiy ta’rif deyilib, u quyidagi sxema bo’yicha tuziladi:
Ta’riflanuvchi tushuncha=jins tushunchasi+shu tushunchaning tur jihatidan farqi.
Buni yana ham qisqaroq qilib
A=B+C
ko’rinishda yozish mumkin, bunda: A – ta’riflanuvchi tushuncha, B+C–ta’riflovchi tushuncha, B-jins tushunchasi, C–shu tushunchaning tur jihatidan farqi.
Tushunchaning eng yaqin jins tushunchasi va tur jihatidan farqini ko’rsatib ta’riflashning boshqa bir ko’rinishi genetik ta’rif deyilib, u quyidagi sxema bo’yicha tuziladi:
Ta’riflanuvchi tushuncha=jins tushunchasi + tushunchaning hosil bo’lish protsessini tavsiflash.
Tushunchani ta’riflashda ta’rifga qo’yilgan ilmiy-pedagogik talablar bajarilishi, ya’ni ta’rifda mantiqiy xatoga yo’l qo’ymaslik, ta’rif qisqa lo’nda bo’lishi uchun matematik logika va to’plamlar nazariyasi tushunchalaridan foydalanish maqsadga muofiq deb topilmoqda [30].
Ko’pincha bizga oldindan ma’lum bo’lgan (ta’riflanmaydigan) tushunchalar yordamida yangi tushuncha kiritiladi, aniqroq qilib aytganda, ana shu yangi tushuncha ta’rif orqali kiriladi. Masalan, rombning ta’rifi quyidagicha ifodalanadi: ikki qo’shni tomoni kongruent bo’lgan parallelogramm romb deyiladi”. Bu ta’rifda yangi tushuncha ,, romb“ termini orqali kiritilgan, ya’ni ,,romb “tushunchasi bizga avvaldan ma’lum bo’lgan,, parallelogramm“, ,, qo’shni tomonlar”, ,,kongurent” kabi tushunchalar asosida ta’riflangan.
Odatda ta’rifda ta’riflanuvchi tushunchaning jins tushunchasi va tur jihatdan farqi ko’rsatilgani uchun ta’riflanuvchi tushuncha, aytiladi”, deyiladi” kabi so’zlar vositasi bilan kiritiladi. Yuqorida qarab o’tilgan, romb” tushunchaning ta’rifida, romb” –yangi termini parallelogramm–jins tushunchadir. Odatda jins tushunchasining hajmi ta’riflanuvchi tushunchaning hajmiga qaraganda ancha keng bo’ladi (haqiqatdan ham, har qanday parallelogramm ham romb bo’lavermaydi). Shu sababli rombni barcha parallelogrammlar orqasidan ajratib olish uchun uning tur jihatidan farqi ko’rsatiladi.
Endi shu ta’rifning simvollar yordamida qanday yozilishini ko’zdan kechiraylik.
Ixtiyoriy ABCD parallelogrammni olamiz. Mana shu ABCD parallelogramm romb bo’lishi uchun biz uning tomonlarining kongruent ekanligiga, ya’ni │AB│ │BC│ bo’lishiga ishonch hosil qilishimiz kerak. Natijada ta’rif quyidagi ko’rinishni oladi:
( ABCD, bunda ABCD-parallelogramm) (1)
(ABCD–romb) (│AB│ │BC│).
Malumki, 7-sinf geometriya darsligida to’g’ri to’rtburchakka quyidagicha ta’rif beriladi; ,, Burchaklari to’g’ri bo’lgan parallelogramm to’g’ri to’rtburchak deyiladi “. Kezi kelganda shuni aytib o’tish kerakki, bu tarifni mantiqiy jihatdan to’g’ri deb bo’lmaydi. Nega deganda parallelogrammning to’g’ri to’ rtburchak bo’lishi uchun bitta burchagi to’g’ri burchak bo’lishi zarur va yetarlidir. Chunki, to’g’ri to’rtburchak parallelogrammning barcha xossalariga ega bo’lgani uchun (qarama-qarshi tomonlari teng, bir tomonga yopishgan ikkita burchakning yig’indisi yoyiq burchakkka teng ) parallelogrammning bir burchagi to’g’ri burchak bo’lsa, qolganlarining ham to’g’ri burchak bo’lishi uning qrab chiqqan xossalaridan mantiqiyb ravishda kelib chiqadi. Bu ta’rif benuqson bo’lishi uchun uni bunday ifoda qilish lozim ,, Bir burchagi to’g’ri parallelogramm to’g’ri to’rtburchak deyiiladi”.
Bu ta’rifda ,,to’g’ri to’rtburchak yangi tushuncha bo’lib, uni barcha parallelogrammlardan ajtatib turuvchui belgisi-uning ,, bir burchagining to’g’ri burchak “ bo’lishidir. Ta’rifga ko’ra, uning burchaklaridan birining to’g’ri burchak bo’lishi zarur va yetarlidir
Ta’rifning simvollik yozuvi bilan teoremaning yozuvini taqqoslasak, har ikkala yozuvda o’xshashlik borligini ko’ramiz. Chunki, har ikkala yozuvda ham implikatsiya belgisidan foydalanamiz. Masalan, romb tushunchasiga doir quyidagi teoremani olaylik.
Rombning diagonallari o’zaro perpendikulyardir.
Simvollik yozuvi: ( ABCD, bunda ABCD-parallelogramm) (2)
(ABCD-romb) (AC BD).
(1) va (2) larni o’zaro taqqoslasak, ularning har ikkalasi ham 3 qismdan iborat ekanligiga ko’zimiz tushadi. Haqiqatdan ham , odatlanib qolgan tilimizga ko’ra , biz ta’rifda,, jins tushunchasi“, ,,tur jihatdan farqi“ , ,,termin“ haqida so’z yuritamiz, teoremada esa ,,tushuntirish qismi“, ,,shart”, ,,xulosa“ haqida so’z yuritamiz. Ammo bu farq faqat so’zda xolos. Chunki ularning har ikkasi ham parallelogrammning qanday shart bajarilganda romb bo’lishini belgilab beradi. (1) va (2) larning farqi shundaki, (1) ni isbot qilishga ehtiyoj yo’q, chunki u ta’rif sifatida qa’bul qilingan, lekin (2) ni isbotlash kerak , chunki u teorema sifatida ifoda qilingan. Bordi-yu (2)ni teorema sifatida emas, balki ta’rif sifatida qa’bul qilinganda edi, u holda (1) ni teorema deb qarab, uni isbotlash lozim bo’lar edi.
Shunday qilib, dialektik logika nuqtai nazardan ilmiy ta’rif oldiga quyidagi talablarni hamda ilmiy pedagogik talablarni qondirish, tushunchalarning ta’riflari mantiqiy jihatdan to’g’ri ko’rinishiga, xatolarni esa bartaraf etishiga olib keladi. Bu esa, o’z navbatida, o’quvchilarda ilmiy tushunchalarning to’g’ri va mustahkam esda qolishi uchun muhim shart-sharoitlarni tug’diradi.