3 Глава Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической физики



Download 0,59 Mb.
bet4/8
Sana21.06.2022
Hajmi0,59 Mb.
#689709
TuriРешение
1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической физики

LU разложение матриц


Рассмотрим систему Ax = f . В результате применения метода Гаус- са мы получили систему Ux = y, где U есть верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали. Вектор y зависит толь- ко от вектора f и матрицы A. Рассмотрим соотношение между y и f . В случае n = 3 мы имеем


yn
Понятно, что для произвольных n мы будем иметь



a
Таким образом, f=Ly,где L – нижняя треугольная матрица с элемент

которая может быть рассчитана с использованием формул базового
алгоритма (10)-(12). Так как


то получаем


Ax = f, Ux = y, Ly = f,

Ax = Ly = LUx.

Следовательно, мы имеем A = LU , где L есть нижняя треугольная матрица и U - верхняя треугольная матрица. Это представление LU разложения для матрицы A часто называется LU факторизацией матрицы A. Приведем пример для 3 × 3 матрицы


Предположим, что для системы Ax = f мы знаем матрицы L и U . Тогда мы сможем легко решить систему в два простых шага: первый - Ly = f дает решение для y, второй - Ux = y обеспечи- вает решение для x. Проблема состоит в получении матриц L и U . Матрица A имеет n2 коэффициентов, тогда число коэффициентов в двух матрицах L и U определяется как n(n + 1), поэтому есть неко- торая недоопределенность. Это дает нам свободу выбора некоторых коэффициентов в L или U .
Укажем некоторые конкретные варианты:


Если метод исключения Гаусса косвенно выбирает lii = 1, то этот вариант называется Метод Дулитла.


Представление с условием uii = 1 известно как Метод Кроута.


Если A = AT (т. е. A является симметричной матрицей) и A является также положительно-определенной матрицей (т. е. имеет положительные собственные значения), то мы можем выбрать uij = lji. Этот вариант называется Метод Холецкого. В этом случае будем иметь

A = LU, AT = UT LT = LU, L = UT .
Заметим, что, строго говоря, LU разложение матрицы не все- гда возможно. Теорема утверждает, что если все главные миноры матрицы A не равны нулю, то A представляется как A = LU един- ственным образом. При этом диагональные элементы L отличны от нуля.
С другой стороны, все гауссовские преобразования могут быть записаны в матричной форме. Например, если n = 3, имеем

    1. Download 0,59 Mb.

      Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish