3 Глава Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической физики


Метод Эйлера (метод Рунге-Кутты первого порядка)



Download 0,59 Mb.
bet6/8
Sana21.06.2022
Hajmi0,59 Mb.
#689709
TuriРешение
1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической физики

Метод Эйлера (метод Рунге-Кутты первого порядка)


Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Этери. Это один из самых старых и широко известных методов. Метод Эйлера является сравнительно грубым методом решения дифференциальных уравнений, однако идеи, положенные в его основу, являются, по существу, исходными для очень широкого класса численных методов.
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения первого порядка 
с начальным условием 
т. е. необходимо решить задачу Коши.
В окрестности точки х() функциюу(х) разложим в ряд Тейлора:

который можно применить для приближенного определения искомой функции у(х). В точке х() + h при малых значениях h можно ограничиться двумя членами ряда (8.7), тогда

где 0(1г2) - бесконечно малая величина порядка /г2. Заменим производную y'(xQ), входящую в формулу (8.7), на правую часть уравнения (8.5):

Теперь приближенное решение в точке х{ =xQ + h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (8.9) найти значение искомой функции в следующей точке х0{ + h. В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера, или методом ломаных.
Метод Эйлера можно представить в виде последовательного применения формул:
для точки 
Таким образом, формула Эйлера в общем случае имеет вид:

Название «метод ломаных» связано с его геометрической интерпретацией. Искомая функция >{л') заменяется ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах х()хпВыведем формулы на основе геометрических аналогий. Предположим, что нам известна точка (x0, у0) на искомой интегральной кривой (см. рис. 8.1).

Рис. 8.1
Через точку (х«, у0) проведем касательную с тангенсом угла наклона:   Уравнение касательной имеет вид: 
Тогда в точке X] =л'() + h, с учетом (8.13), получим решение:

Ошибка решения в точке x=xt показана в виде отрезка Д.
Формула (8.12) является методом Рунге-Кутты первого порядка, т. к. она согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка hl.
Метод Эйлера имеет довольно большую погрешность вычисления: Д«0(И). Кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым - малая ошибка (например, заложенная в исходных данных) увеличивается с ростом х. На рис. 8.2 приведена блок-схема метода Эйлера, в приложении - программа расчета.

Рис. 8.2. Блок-схема метода Эшера
Пример 8.1. Для химической реакции

Изменение концентраций веществ А и В можно описать следующими кинетическими уравнениями:

с начальными условиями:

Требуется получить зависимость изменения концентрации вещества А от времени, т. е. необходимо решить дифференциальное уравнение (решить задачу Коши).
Исходные данные:
G, о=1 моль/л;
Св. о= 0;
к=0,2 с интервал интегрирования /=[0, 5].
Обозначим СА =у, тогда

Примем величину шага h = 0,1. Решим данное уравнение методом Эйлера (8.12).

Download 0,59 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish