28-§. Ptolemey va Paskal teoremalari hamda ularning isbotlari Ptolemey teoremasi

2-usul. Quyidagi ikkita lemmadan foydalanamiz:
1-lemma. aylanalar bir - biridan farqli bo‘lgan A va B nuqtalarda kesishsin. aylananing ixtiyoriy CD vatarini olaylik. CA to‘g‘ri chiziq aylana bilan E nuqtada, DB to‘g‘ri chiziq aylana bilan F nuqtada kesishsa, u holda bo‘ladi.
2-lemma. ABC va o‘xshash uchburchaklar uchun (o‘xshashlik koeffitsiyenti birdan kichik) va munosabatlar bajarilsa, u holda to‘g‘ri chiziqlar bitta nuqtada kesishadi.

Aylanaga ichki chizilgan oltiburchak berilgan bo‘lsin. Agar bo‘lsa, M, N, P nuqtalarni bitta to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlashimiz kerak.
uchburchakka tashqi aylana chizamiz, bu aylana to‘g‘ri chiziq bilan Y nuqtada, to‘g‘ri chiziq bilan X nuqtada kesishsin. U holda, berilgan oltiburchakka tashqi chizilgan aylana va ga tashqi chizilgan aylana uchun 1-lemmani qo‘llasak: munosabatlarga ega bo‘lamiz. Endi ekanligidan va yuqoridagi (2.3) munosabatlardan foydalansak: ekanligi kelib chiqadi. (2.4) dan larga 2-lemmani qo‘llasak, to‘g‘ri chiziqlarning bitta nuqtada kesishishi kelib chiqadi. Endi munosabatlardan va oxirgi olingan natijadan foydalansak to‘g‘ri chiziqlar P nuqtada kesishishi kelib chiqadi. Demak, M, N, P nuqtalar bitta to‘g‘ri chiziqda yotadi.