28-§. Ptolemey va Paskal teoremalari hamda ularning isbotlari Ptolemey teoremasi

Paskal teoremasi. Aylanaga ichki chizilgan oltiburchakning qarama - qarshi tomonlari o‘zaro parallel bo‘lmasa ularning kesishish nuqtasi bitta to‘g‘ri chiziqda yotadi.
Isbot. 1-usul. Menelay teoremasidan foydalanib isbotlaymiz:
Menelay teoremasi. ABC uchburchakning AB, BC, CA tomonlarida(yoki ularning davomida) mos ravishda nuqtalar tanlangan bo‘lsin. U holda, nuqtalar bitta to‘g‘ri chiziqda yotishi uchun:

tenglikning bajarilishi zarur va yetarli.

Aylanaga ichki chizilgan oltiburchak berilgan bo‘lsin. Agar kabi belgilash kiritsak, u holda M, N, P nuqtalarni bitta to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlashimiz kerak. Yordamchi bir nechta nuqta aniqlab olamiz: X, Y, Z nuqtalardan oltiburchakka tashqi chizilgan aylanaga o‘tkazilgan kesuvchilarni hossasiga ko‘ra:

tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Endi XYZ uchburchakda to‘g‘ri chiziqlarga nisbatan Menelay teoremasini qo‘llasak, mos ravishda quyidagi tengliklarni olamiz:

tengliklarga ega bo‘lamiz. Endi (2.2) tenglikning mos tomonlarini ko‘paytirib(2.1) munosabatlardan foydalansak:

ekanligi kelib chiqadi. Oxirgi tenglikga ko‘ra, XYZ uchburchak va M, N, P nuqtalar uchun Menelay teoremasiga asosan, M, N, P nuqtalarning bitta to‘g‘ri chiziqda yotishi kelib chiqadi.