28-§. Ptolemey va Paskal teoremalari hamda ularning isbotlari Ptolemey teoremasi

4-usul. Inversiyadan foydalanib isbotlaymiz:
Ta’rif. (Inversiya) Radiusi R va markazi O nuqtada bo‘lgan aylana berilgan bo‘lsin. P nuqtaning aylana bo‘yicha inversiyasi deb shunday P’ nuqtaga aytiladiki, bunda P’ nuqta da yotib munosabatni qanoatlantiradi.
1-xossa. R radiusli aylanadagi A, B, C nuqtalar uchun B’ va C’ nuqtalar mos ravishda B va C nuqtalarning aylana bo‘yicha inversiyasi bo‘lsa, u holda:
tenglik o‘rinli.
2-xossa. R radiusli aylanadagi A, B, C va D nuqtalar uchun (D inversiyasi markazi bo‘lsin) A’, B’ va C’ nuqtalar mos ravishda A, B va C nuqtalarning aylana bo‘yicha inversiyasi bo‘lsa, u holda A’, B’ va C’ nuqtalar bitta to‘g‘ri chiziqda yotadi.
Inversiya markazi sifatida A nuqtani olaylik. U holda, 1-xossaga ko‘ra:

munosabatlar o‘rinli bo‘ladi. Boshqa tomondan 2-xossaga asosan A’, B’ va C’ nuqtalar bitta to‘g‘ri chiziqda yotadi. Demak: B’D’=B’C’+C’D’ (1.11)

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Endi yuqoridagi (1.10) va (1.11) tengliklardan foydalansak

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu esa ga ekvivalent.