28-§. Ptolemey va Paskal teoremalari hamda ularning isbotlari Ptolemey teoremasi

28-§. Ptolemey va Paskal teoremalari hamda ularning isbotlari
Ptolemey teoremasi. Aylanaga ichki chizilgan ABCD to‘rtburchakda qarama - qarshi tomonlari ko‘paytmasining yig‘indisi uning diagonallari ko‘paytmasiga teng, ya’ni
Isbot. 1-usul. ABCD to‘rtburchakning AC diagonalida bo‘ladigan qilib K nuqtani tanlaymiz. U holda, ACK va BDC lar o‘xshash bo‘ladi bundan: AD:BD=AK:BC (1.1)
ekanligidan, DKC va ABD uchburchaklar o‘xshash bo‘ladi bundan: DC:BD=KC:AB (1.2)

(1.1) va (1.2) tengliklarga ko‘ra, munosabatlar bizda bor, endi ularni mos tomonlarini qo‘shib soddalashtirsak:

tenglikka ega bo‘lamiz. Teorema isbot bo‘ldi.
2-usul. Quyidagicha belgilashlar kiritib olaylik AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=e va BD=f . ABC va ACD uchburchaklarga kosinuslar teoremasiga ko‘ra:

tengliklar o‘rinli. Berilgan to‘rtburchak aylanaga ichki chizilganligi uchun munosabat o‘rinli, bundan yoki:

Oxirgi tenglikdan ni topamiz:

ADB va BCD uchburchaklar uchun xuddi yuqoridagi kabi ish yuritib uchun quyidagi tenglikni olishimiz mumkin:

(1.3) va (1.4) tengliklarni mos tomonlarini ko‘paytirsak:

bundan ef=ac+bd, ya’ni ekanligi kelib chiqadi.
3-usul. Simpson teoremasidan foydalanib isbotlaymiz: