27-§. n-tartibli bir jinsli o‘zgarmas koeffetsiyentli chiziqli differensial tenglama

30-§. Ayrim o‘zgarmas koeffitsiyentli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamalar.

I. Bir jinsli bo‘lmagan ushbu

(1)

ko‘rinishdagi chiziqli differensial tenglama berilgan bo‘lsin. Bu yerda

(2)

berilgan sonlar.

1-hol. Aytaylik soni ushbu

(3)

xarakteristik tenglamaning ildizi bo‘lmasin, ya’ni bo‘lsin. Bu holda (1) differensial tenglamaning xususiy yechimini

(4)

ko‘rinishda izlaymiz. Bunda

(5)

-hozircha noma’lum sonlar.

Shartga ko‘ra bo‘lgani uchun sonlarni shunday tanlaymizki, natijada quyidagi

,

ya’ni

(6)

munosabat bajarilsin.

Oldingi 27-paragrafdagi (14), ya’ni ushbu

(7)

formulaga asosan (6) tenglikning chap tomonini hisoblaymiz.

Yuqoridagi (6) tenglikka ko‘ra, ushbu

munosabatga ega bo‘lamiz. Bu ko‘phadlarning tengligidan foydalanib, -noma’lumlarga nisbatan, quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

(8)

Bu sistemaning asosiy determinantini hisolaymiz:

Shuning uchun bu tenglamalar sistemasining yagona yechimi mavjud. Endi (8) sistemani yechib

(9)

va hokazo.

Demak, qaralayotgan holda (4) ko‘rinishdagi yechimning tarkibidagi barcha noma’lumlar (9) formulalar orqali aniqlanadi.

2-hol. Aytaylik soni (3) xarakteristik tenglamaning karrali ildizi bo‘lsin, ya’ni

(10)

U holda, (7) formula ushbu

(11)

ko‘rinishni oladi. Bu tenglikning o‘ng tomoni –darajali ko‘phaddan iborat. Shuning uchun (1) differensial tenglamaning xususiy yechimini

(12)

ko‘rinishda izlaymiz. (12) tenglik orqali aniqlangan y(x) funksiyani (1) differensial tenglamaga qo‘yib noma’lumlarni shunday tanlaymizki, natijada quyidagi

(13)

munosabat o‘rinli bo‘lsin. Bu tenglikni chap tomonini (10) va (11) munosabatdan foydalanib hisoblash mumkin:

(14)

(14) va (13) tengliklarning o‘ng tomonlarini tenglashtirib, noma’lumlarga nisbatan quyidagi algebraik tenglamalar sistemasini keltirib chiqaramiz:

(15)

Bu sistemaning asosiy determinanti

bo‘lgani uchun, u yagona yechimga ega bo‘ladi.

Shunday qilib, agar soni xarakteristik tenglamaning r karrali ildizi bo’lsa, u holda (1) differensial tenglamaning xususiy yechimi (12) ko‘rinishda bo‘lar ekan.

II. Agar (1) differensial tenglama ushbu

(16)

ko‘rinishda bo‘lsa, u holda uning quyidagi

(17)

ko‘rinishdagi xususiy yechimi mavjud. Bu yerda mos ravishda darajali berilgan ko‘phadlar. va berilgan haqiqiy sonlar. Bundan tashqari kompleks soni xarakteristik tenglamaning k karrali ildizi. Agar kompleks soni xarakteristik tenglamaning ildizi bo‘lmasa, ya’ni bo‘lsa, u holda k=0 deb olinadi. lar -darajali ko‘phad. (17) ko‘rinishdagi yechimning mavjudligini ko‘rsatish uchun ushbu

Eyler formulalaridan foydalanib, oldingi o‘rganilga holatga keltiriladi.