27-§. n-tartibli bir jinsli o‘zgarmas koeffetsiyentli chiziqli differensial tenglama

28-§. Eyler tenglamasi

Ushbu

(1)

ko‘rinishdagi differensial tenglamaga Eyler tenglamasi deyiladi. Bu yerda . Bu differensial tenglamani

(2)

almashtirish yordamida n-tartibli bir jinsli o‘zgarmas koeffitsientli differensial tenglamaga keltirish mumkin. Haqiqatan ham (2) almashtirish (1) differensial tenglamaning tartibini va chiziqliligini saqlab qoladi. Quyidagi hisoblashlarni bajaramiz:

,







(3)

Bu yerda - o‘zgarmas sonlar. Topilgan (3) formulalardan foydalanib (1) differensial tenglamani quyidagi

(4)

ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda - o‘zgarmas sonlar. Oxirgi (4) differensial tenglamaning xususiy yechimlari almashtirish yordamida topiladi.

Berilgan (1) differensial tenglamaning xususiy yechimlarini ushbu

(5)

almashtirish yordamida topish mumkin.

Quyidagi

hosilalarni (1) differensial tenglamaga qo‘yib

(6)

algebraik tenglamani hosil qilamiz. Bu algebraik tenglamaga (1) differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi va u (4) differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi bilan mos tushadi.

1. Agar (6) xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va har xil bo‘lsa (1) Eyler differensial tenglamasining umumiy yechimi

(7)

ko‘rinishda bo‘ladi.

2. Agar (6) xarakteristik tenglama har xil ildizlarga ega bo‘lib, ular karrali ( ) bo’lsa, u holda (1) Eyler differensial tenglamasining umumiy yechimi

(8)

ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda ixtiyoriy darajali ko‘phad.

3.Agar (6) xarakteristik tenglama , ko‘rinishdagi r karrali kompleks ildizga ega bo‘lsa, u holda (1) Eyler differensial tenglamasi uchun ushbu

funksiyalar xususiy yechim bo‘ladi.