27-§. n-tartibli bir jinsli o‘zgarmas koeffetsiyentli chiziqli differensial tenglama

31-§. Birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglamaning golomorf yechimi.

1. Ta’rif-1. Agar f(x) funksiyani nuqtaning biror atrofida

darajali qatorga yoyish mumkin bo‘lsa, f(x) ga nuqtada golomorf deyiladi.

Ushbu

(1)

(2)

Koshi masalasini qaraylik. Chunki umumiy ko‘rinishdagi

,

Koshi masalasini

almashtirish yordamida (1), (2) ko‘rinishga keltirish mumkin.

Teorema-1 (Koshi). Agar (0,0) nuqtada f(x,y) funksiya golomorf, ya’ni

(3)

bo‘lsa, u holda (1), (2) Koshi masalasining nuqtada golomorf bo‘lgan

(4)

yagona yechimi mavjud.

Isbot. 1) Formal yechimni qurish algoritmi. Berilgan (1), (2) Koshi masalasining yechimini, ushbu

(5)

ko‘rinishda izlaymiz. Bu yerda -hozircha noma’lum sonlar. (1) differensial tenglamani (3) tasvirdan foydalanib quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

(6)

Endi (5) qatorni (6) tenglikka qo‘yib,

(7)

munosabatni hosil qilamiz. Bu tenglikda darajali qatorlarning yoki golomorf funksiyalarning yagonaligi haqidagi teoremaga asoslanib, o‘zgaruvchining mos darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirish natijasida quyidagi rekkurent tengliklarni hosil qilamiz:

Xuddi shuningdek oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirib

(8)

tasvirni topamiz. Bu yerda -musbat koeffitsiyentli ko‘phad ( -da bu koeffitsiyent ga teng).

Shunday qilib, agar golomorf yechim mavjud bo‘lsa, u yagona bo‘lar ekan. Chunki (5) formal yechimning koeffitsiyentlari (8) formula orqali yagona aniqlanadi.

2) Teorema isbotining asosiy qismi, bu yechimni ifodalovchi (5) darajali qatorni x=0 nuqtaning biror atrofida yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatishdan iborat. Buning uchun x=0 nuqtaning biror atrofida yaqinlashuvchi majarant

(9)

musbat hadli ( ) darajali qatorni tuzish yetarli.

Yuqoridagi g‘oyani amalga oshirish maqsadida berilgan funksiyaning biror F(x,y) majarantasini quyidagi sxema yordamida tuzamiz.

(3) tenglikning o‘ng tomonidagi qator to’g’ri to‘rtburchakda yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun, ushbu tengsizliklarni qanoatlantiruvchi istalgan sonlar uchun

(10)

Koshi tengsizligi o‘rinli. Bu yerda

(11)

(10) tengsizlikning o‘ng tomoni orqali aniqlangan -sonlardan foydalanib, quyidagi darajali qatorni tuzamiz:

Shunday qilib, funksiyaning majarantasi sifatida ushbu

(12)

funksiyani olish mumkin.

Endi berilgan (1), (2) Koshi masalasi o‘rniga yordamchi

,

ya’ni

(13)

majarant Koshi masalasini qaraymiz. Bu masala yagona aniq yechimga ega.

Chunki (13) o‘zgaruvchilarga ajraladigan differensial tenglamadir. Avvalo bu differensial tenglamani integrallab, uning umumiy yechimini topamiz:

Ushbu boshlang‘ich shartdan foydalanib, C-o‘zgarmasning qiymatini topamiz:

.

Natijada (13) Koshi masalasining yechimini hosil qilamiz:

.

Bu tenglikning ikki tomonini ga ko‘patirib, quyidagi

,

ya’ni

(14)

yechimni topamiz. Bu yechim x=0 nuqtada golomorf. Chunki golomorf funksiyalarning superpazitsiyasi (murakkab funksiyasi)

yana golomorf. Shunday qilib, (14) yechimni ushbu

(15)

ko‘rinishda tasvirlash mumkin. Endi (15) darajali qatorning yaqinlashish sohasini aniqlaymiz. Buning uchun, uning yaqinlashish radiusini baholaymiz. Binomyal va logorifmik qatorlarning yaqinlashish radiusi 1 ga teng bo‘lgani uchun Abel teoremasiga asosan x ning musbat qiymatlari bilan cheklanish yetarli. Shunday qilib x ning qabul qiladigan qiymatlari

(6)

tengsizliklar sistemasini qanoatlantiradi. Bu sistemaning ikkinchi tengsizligini yechib quyidagi

ya’ni

bahoni olamiz. Shunday qilib (15) darajali qator ushbu

sohada yaqinlashadi.

Endi (15) qatorning barcha koeffitsiyentlarining musbatligini va (9) tengsizlikning bajarilishini ko‘rsatish lozim. Aniqmas koeffitsiyentlar usulidan foydalanib ni quyidagi

formula orqali topish mumkin. ko‘phadning argumentlari majarant F(x,y) funksiyaning yoyilmasining koeffitsiyentlaridan iborat. Bu ko‘phad koeffitsiyentlarining musbatligidan hamda (10) Koshi tengsizligidan larning musbatligi va (9) tengsizlikning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi.