27-§. n-tartibli bir jinsli o‘zgarmas koeffetsiyentli chiziqli differensial tenglama

34-§. Eyri tenglamasi
Ushbu

(1)

ko‘rinishdagi tenglamaga Eyri differensial tenglamasi deyiladi. Bu differensial tenglama matematik fizikaning ko‘p sohalarida, shu jumladan Kvant mexanikasining ayrim masalalarini o‘rganishda qo‘llanilib kelmoqda. (1) tenglama o‘zgaruvchan koeffitsiyentli eng sodda differensial tenglama bo‘lishiga qaramasdan, u oddiy elementar funksiyalar yordamida yechilmaydi. Lekin bu differensial tenglamada

bo‘lgani uchun, bu koeffitsiyentlar eng sodda golomorf funksiyalardir. Shuning uchun (1) differensial tenglamaning yechimini

(2)

darajali qator ko‘rinishida izlash mumkin. Avvalo (2) darajali qatorni formal ravishda ketma-ket ikki marta differensiallab, so‘ngra topilgan va -hosilalarni (1) tenglamaga qo‘ysak

, (3)

ya’ni

munosabat kelib chiqadi. Bu tenglikda ning oldidagi koeffitsiyentlarni nolga tenglashtirib

(4)

sistemani hosil qilamiz. Bundan

ya’ni

munosabatlarni topamiz. Ko‘rinib turibdiki

Aytaylik bo‘lsin. U holda

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi (1) differensial tenglamaning yechimi

(5)

ko‘rinishdagi darajali qatordan iborat bo‘ladi.

Faraz qilaylik bo‘lsin. U holda (1) differensial tenglamaning

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi

(6)

ko‘rinishdagi darajali qatordan iborat bo‘ladi.

Teorema-1. (5) va (6) darajali qatorlar - haqiqiy sonlar o‘qida yaqinlashuvchi bo‘lib, ular yordamida aniqlangan funksiyalar (1) differensial tenglamaning F.Y.S ni tashkil qiladi.

Isbot. Avvalo (5) darajali qatorning yaqinlshish radiusini ushbu

formuladan foydalanib hisoblaymiz:

Demak, (5) darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo‘lgani uchun u oraliqda yaqinlashadi. Shunday qilib (5) tenglik yordamida aniqlangan funksiya barcha tartibli hosilalariga ega bo‘ladi. Bundan tashqari (7) formula bilan aniqlangan funksiya (1) differensial tenglamani qanoatlantirishini ko‘rsatish qiyinchilik tug‘dirmaydi. Xuddi shuningdek (6) darajali qatorning oraliqda yaqinlashuvchi ekanligini hamda funksiya (1) differensial tenglamaning yechimi ekanligini ham ko‘rsatish mumkin.

Endi va yechimlarning chiziqli erkliligini ko‘rsatamiz. Buning uchun teskarisini faraz qilamiz, ya’ni va yechimlar chiziqli bog‘langan bo‘lsin. U holda ushbu

(7)

tenglikni qaraymiz. Bunda x=0 bo‘lsin. U holda bo‘lgani uchun

bo‘lishini topamiz. U holda (7) tenglik

ko‘rinishni oladi. Oxirgi tenglikni differensiallab

hosil qilamiz va bunda deb

,

ekanini topamiz. Demak (7) tenglik faqat bo‘lganda bajarilar ekan. Shuning uchun va funksiyalar (1) differensial tenglamaning F.Y.S ni tashkil qilar ekan. Endi bu va funksiyalardan tuzilgan Vronskiy determinantini hisoblaymiz:

Demak, (1) differensial tenglamaning umumiy yechimini

ko‘rinishda yozish mumkin ekan. Bu yerda - ixtiyoriy o‘zgarmaslar.