24 – Маъруза. Тежамли айирмали схемалар

3. Тугри-кундаланг схеманинг абсолют тургунлиги.
Тугри-кундаланг методни тадкик этиш учун , энг аввал (12), (13) дан оралик кийматларини йукотамиз хамда n ва n+1 катламлардаги номаълумларни богловчи эквивалент схемани хосил киламиз. Ундан сунг хосил килинган схемага икки катламли айирмали схемалар каноник куриниши ва тургунлигига багишланган маърузадан 2- теоремани куллаб абсолют тургунлигига ишонч хосил киламиз. (15)- тенгламадан (12)- тенгламани айирамиз. Унда

тенгламани хосил киламиз ва ундан
(16)
топамиз .
нинг ифодасини (13)-га куйиб

тенгламани хосил киламиз.
Баъзи бир соддалаштиришлардан сунг бу тенглама
(17)
куринишга келади.
Бу урнига куйиш, _h турнинг барча нукталарида мумкин эмас. Масалан i=1 да (13)- тенглама

куринишда булиб, узида хозирча аникланмаган кийматни саклайди. ((16)-тенглама кийматни факат i=1,2,...,N₁-1 учун аниклай олишини кайд этамиз.) Худди шунга ухшаш вазият i=N₁-1 учун хам вужудга келади, яъни (16)-тенглама i=N₁-1 да (16)- формула билан аникланмаган киймат катнашади, агар , кийматларни (16)- формулага мувофик яъни

каби аникласак, у барча х_ij_h нукталар учун уринли булади.
Бу чегаравий кийматларни (14)-тенгламани ечишда прогонка методи ёрдамида хисоблаш учун фойдаланиш мумкин. Шундай килиб, (17)-тенгламага келдик. (17)-схеманинг абсолют тургунлигини бошлангич шартларга нисбатан тургунлигини =0 деб тадкик этамиз. булган холда (17)- схемани
(18)
=0 агар x_ij_h , n=0,1,...,K-1, агар x_ij_h куринишда ёзиш мумкин. _h да нолга тенг _h да аникланган H_h⁽⁰⁾ функциялар фазосини киритамиз ва A₁,A₂,A операторларини (4)-га мувофик аниклаймиз. Унда (18)- схемани
(19)
берилган шаклда ёзиш мумкин.
Бу ерда y_n=y(t_n)H_h^. (19)- схема (7)- каноник куринишга эга, бунда

А₁А₂ операторнинг мусбатлигини курсатамиз.
Таърифга кура

булиб
(20)
y_0j=y_N1j =0 эканлигини хисобга олиб (20)- формуладаги ички йигинди формуладан фойдаланиб узгартирамиз:

ва (20)-тенгликни

куринишда ёзамиз.
£озиргина фойдаланилган айниятдан фойдаланиб ва y_0i =y_iN2=0 эканлигини инобатга олсак

тенгликка эга буламиз ва натижада

тенгликка эга буламиз.
Бундан A₁A₂ операторнинг мусбатлиги келиб чикади. Бунда шарт бажарилиб, уз навбатида ихтиёрий h₁,h₂ учун тугри – кундаланг схеманинг абсолют тургунлиги келиб чикади.