24 – Маъруза. Тежамли айирмали схемалар

2. Узгарувчан йуналишли метод мисоли.
Узгарувчан йуналишли, тугри-кундаланг метод деб номланган ёки Писмент-Речфорд схемаси деб айтиладиган айирмали схема билан танишамиз.
Бу методда n-катламдан n+1- катламга утиш икки боскичдан иборат булади. Биринчи боскичда
(12)
системадан кийматлар топиладилар, иккинчи боскичда кийматлардан фойдаланилиб
(13)
системадан кийматлар аникланадилар. Бу ерда ₁ ва ₂ айирмали муносабатлар (3)- каби аникланганлар.
(12)- тенглама факат x₁- га нисбатан ошкормасдир. Шу сабабли (12), (13) - тенгламаларни аввал x₁ буйича кейин x₂ буйича кетма-кет бир улчовли прогонка методи билан ечиш мумкин. Шу сабабли бу методга узгарувчан йуналишли метод деган ном берилган. (12), (13)-тенгламаларни ечиш алгоритмига батафсил тухталамиз.
(12)- тенгламани
(14)
бунда куринишида ёзамиз.
(14)- тенглама хар бир j - учун узгарувчи i буйича прогонка усули билан ечилади. Прогонкани куллаш учун, , чегаравий кийматларни аниклашга кеийин тухталамиз. £ар бир j учун x₁ йуналиш буйича прогонка O(N₁) арифметик амал билан амалга оширилади. Демак барча ларни топиш учун O(N₁N₂) та арифметик амал бажариш керак булади.
Барча лар аниклангандан сунг (13)- тенглама ечилади. Бу тенгламани
(15)

куринишда ёзиб олингандан сунг, уни хар бир i=1,2,...,N₁-1 учун бир улчовли прогонка усули билан ечиш мумкинлигини курамиз. Чегаравий кийматлар (1)-масалага мос берилади:

(15)- системадан барча y_ijⁿ⁺¹ ларни топиш O(N_1;N₂) та арифметик амал бажаришни талаб килади. Шундай килиб N₁=N₂=N булганда - ларни топиш O(N²) -та арифметик амалларни бажаришни талаб килади.
Таккослаш учун, (10) - системани Гаусс методи билан ечиш O(N⁶) арифметик амалларни бажаришни талаб килишини кайд киламиз. Фурьенинг тез алмаштириши ёрдамида ошкормас схемани ечиб ни топиш эса O(N²lnN) та амални талаб килади.