n
X
X
)+
δ
Demak, aniqlangan
℮
𝛾
oralig‘i ishonchlilik oralig‘i,
𝛾
– ehtimol esa
ishonchlilik ehtimoli
deyiladi.
Faraz qilaylik,
X
tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi
θ
va dispersiyasi
σ
2
bo‘lsin. Noma’lum
θ
– parametr uchun ishonchlilik ehtimoli
β
– ga teng
bo‘lgan
℮
β
– ishonchlilik oralig‘ini tuzish masalasini qaraylik.
X
1
, …,
X
n
– hajmi
n
– ga teng bo‘lgan tanlanma va unga mos tanlanma
o‘rta qiymati va dispersiyasini tuzaylik:
1
1
n
i
i
x
X
n
,
2
2
1
1
(
)
n
i
i
S
X
x
n
.
Eslatib o‘tamiz,
x
– bir xil taqsimlangan, bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar
yig‘indisidantuzilgandir. Shuning uchun, markaziy limit teoremaga asosan
uning taqsimot funksiyasi normal qonunga yaqindir.
x
ning matematik
kutilmasini va dispersiyasini hisoblaymiz:
M x
,
2
Dx
n
Endi
>0 sonni shunday topaylikki, u uchun quyidagi munosabat
o‘rinli bo‘lsin:
P x
a
(3)
x
- t.m.ning taqsimot funksiyasi normal qonunga yaqinligini hisobga
olib, (3) – tengsizlikning o‘ng tomondagi
β
– sonini Laplas funksiyasi bilan
bog‘laymiz:
2
2
x
x
P x
a
. (4)
Bu yerda
n
x
2
- o‘rta kvadratik chetlanish.
Laplas funksiyasining
Φ
(
-x
) = 1–
Φ
(
x
) xossasini inobatga olsak, (4) -
tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
2
1
2
x
P x
a
(5)
(3) va (5) tengliklardan quyidagini hosil qilamiz:
1
2
2
x
.
Oxirgi tenglikdan
δ
𝛾
ni aniqlaymiz:
1
1
2
2
x
(6)
Bu yerda
Φ
-1
(
x
) orqali Laplas funksiyasiga teskari funksiyani
belgiladik. (6) – tenglik bilan aniqlangan
δ
β
– soni noma’lum
x
miqdor
orqali yoziladi. Yetarli katta n lar uchun tanlanma dispersiya
S
2
nazariy
dispersiyaga yaqin bo‘lgani uchun
x
ni taqriban
n
S
2
ga teng deyish
mumkin, ya’ni
n
S
x
2
Shunday qilib, noma’lum o‘rta qiymat θ – uchun
𝛾
– ishonchlilik
ehtimoliga teng
℮
𝛾
– ishonchlilik oralig‘i
℮
𝛾
=
,
x
x
(7)
ga teng bo‘ladi. Bu yerda
2
1
2
S
n
.
Misol.
X
t.m.ning tajriba natijasida 20 ta qiymati olindi.
I
X
i
I
X
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10.9
10.7
11.0
10.5
10.6
10.4
11.3
10.8
11.2
10.9
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
10.8
10.3
10.5
10.8
10.9
10.6
11.3
10.8
10.9
10.7
X
t.m.ning matematik kutilmasi
θ
uchun
𝛾
= 0.86 ishonchlilik
ehtimoliga mos keluvchi ishonchlilk oralig‘ini tuzing.
Tanlanma o‘rta qiymat va dispersiyani topamiz.
78
.
10
20
1
20
1
i
i
X
X
;
064
.
0
78
.
10
20
1
19
20
2
20
1
2
2
i
i
X
S
;
0564
.
0
2
n
S
x
.
(7) formula bo‘yicha ishonchlilik oralig‘ini tuzamiz:
1
0.0564 2
0.86
0.083
va
10.78 0.083 10.70
x
;
10.78 0.083 10.86
x
,
u holda ishonchlilk oralig‘i
℮
𝛾
=(10.70; 10.86) ekan.
Endi ishonchlilik oraliqlari tuzishning universal usuli bo`lgan markaziy statistika
usuli bilan qiqacha tanishib chiqamiz.
-model absolyut uzluksiz va
tanlanma va
𝜃
noma`lum parametrga bog`liq
bo`lgan
tasodifiy miqdor mavjud bo`lsin.
Ta`rif.
tasodifiy miqdor
𝜃
parameter uchun markaziy statistika
deyiladi, agar 1)
ning taqsimoti
𝜃
ga bog`liq bo`lmasa;
2) har bir
uchun
funksiya
𝜃
bo`yicha uzluksiz va qa`tiy monoton
bo`lsa.
Faraz qilaylik,
model uchun
markaziy statistika qurilgan va
uning zichlik taqsimoti bo`lsin.
ham
𝜃
bog`liq bo`lmaydi va har qanday
uchun
miqdorlarni tanlash mumkinki,
Endi
sonlarini
𝜃
ga nisbatan
, tenglamaning yechimi sifatida aniqlaymiz, bunda,
.
Bu holda
tengsizlik
tengsizlikka teng kuchli bo`ladi va
Shunday qilib,
oraliq
𝜃
parametr uchun
𝛾
ishonchlilik
oralig`i bo`ladi.
Amaliyotda
larni quyidagi munosabatni qanoatlantiradigan qilib
tanlash tavsiya qilinadi:
Agar F(x,
𝜃
) kuzatilayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo`lsa,
olsa, bo`ladi, chunki, bu
holda markaziy statistikaga qo`yilgan barcha shartlar bajariladi.
Takrorlash uchun savollar.
1.
Ishonlilik oqalig`I va ishonchlilik ehtimolligi ta`riflarini keltiring?
2.
Matematik kutilma uchun dispersiya ma`lum bo`lganda ishonchlilik
oralig’i qanday teoremadan foydalaniladi?
3.
Matematik kutilma uchun dispersiya ma`lum bo`lganda ishonchlilik
oralig’ini yozing ?
4.
Matematik kutilma uchun dispersiya noma`lum bo`lganda
ishonchlilik oralig’i qanday bo`ladi?
5.
Markaziy statistikaga ta`rif bering?
6.
Markaziy statistika orqali ishonchlilik oralig`i tuzish jarayonini
tushuntirib bering?
Do'stlaringiz bilan baham: |