22-Ma`ruza. Noma`lum parametrlarni ishonchlilik oraliqlari usuli bilan baholash

n
X
X
)+
δ 
Demak, aniqlangan 
℮
𝛾
oralig‘i ishonchlilik oralig‘i,
𝛾
– ehtimol esa 
ishonchlilik ehtimoli
deyiladi. 
Faraz qilaylik, 
X
tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi 
θ
va dispersiyasi 
σ 
2
bo‘lsin. Noma’lum 
θ
– parametr uchun ishonchlilik ehtimoli 
β
– ga teng 
bo‘lgan 
℮
β
– ishonchlilik oralig‘ini tuzish masalasini qaraylik.
X
1
, …, 
X
n
– hajmi 
n 
– ga teng bo‘lgan tanlanma va unga mos tanlanma 
o‘rta qiymati va dispersiyasini tuzaylik: 
1
1
n
i
i
x
X
n



,
2
2
1
1
(
)
n
i
i
S
X
x
n




. 
Eslatib o‘tamiz, 
x
 
– bir xil taqsimlangan, bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar 
yig‘indisidantuzilgandir. Shuning uchun, markaziy limit teoremaga asosan 
uning taqsimot funksiyasi normal qonunga yaqindir. 
x
ning matematik 
kutilmasini va dispersiyasini hisoblaymiz:
M x


,
2
Dx
n



---

Endi


>0 sonni shunday topaylikki, u uchun quyidagi munosabat 
o‘rinli bo‘lsin: 


P x
a



 

(3) 
x
- t.m.ning taqsimot funksiyasi normal qonunga yaqinligini hisobga 
olib, (3) – tengsizlikning o‘ng tomondagi 
β
– sonini Laplas funksiyasi bilan 
bog‘laymiz: 


2
2
x
x
P x
a














 
 
  














. (4) 
Bu yerda 
n
x
2



- o‘rta kvadratik chetlanish. 
Laplas funksiyasining 
Φ
(
-x
) = 1–
Φ
(
x
) xossasini inobatga olsak, (4) - 
tenglikni quyidagicha yozish mumkin: 


2
1
2
x
P x
a







 
 





(5) 
(3) va (5) tengliklardan quyidagini hosil qilamiz: 
1
2
2
x













. 
Oxirgi tenglikdan 
δ
𝛾
ni aniqlaymiz: 
1
1
2
2
x









 



(6) 
Bu yerda 
Φ
-1
(
x
) orqali Laplas funksiyasiga teskari funksiyani 
belgiladik. (6) – tenglik bilan aniqlangan 
δ
β
– soni noma’lum 
x

miqdor 
orqali yoziladi. Yetarli katta n lar uchun tanlanma dispersiya 
S
2
nazariy 
dispersiyaga yaqin bo‘lgani uchun 
x

ni taqriban 
n
S
2
ga teng deyish 
mumkin, ya’ni
n
S
x
2


Shunday qilib, noma’lum o‘rta qiymat θ – uchun
𝛾
– ishonchlilik 
ehtimoliga teng 
℮
𝛾
– ishonchlilik oralig‘i 

---

℮
𝛾
=


,
x
x






(7) 
ga teng bo‘ladi. Bu yerda
 
2
1
2
S
n






. 
Misol.
X
t.m.ning tajriba natijasida 20 ta qiymati olindi. 
I 
X
i 
I 
X
i 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
10.9 
10.7 
11.0 
10.5 
10.6 
10.4 
11.3 
10.8 
11.2 
10.9 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
10.8 
10.3 
10.5 
10.8 
10.9 
10.6 
11.3 
10.8 
10.9 
10.7 
X
t.m.ning matematik kutilmasi 
θ
uchun
𝛾
= 0.86 ishonchlilik 
ehtimoliga mos keluvchi ishonchlilk oralig‘ini tuzing. 
Tanlanma o‘rta qiymat va dispersiyani topamiz. 
78
.
10
20
1
20
1




i
i
X
X
; 
064
.
0
78
.
10
20
1
19
20
2
20
1
2
2











i
i
X
S
; 
0564
.
0
2


n
S
x

. 
(7) formula bo‘yicha ishonchlilik oralig‘ini tuzamiz: 


1
0.0564 2
0.86
0.083






va 
10.78 0.083 10.70
x






; 
10.78 0.083 10.86
x






, 
u holda ishonchlilk oralig‘i
℮
𝛾
=(10.70; 10.86) ekan.
Endi ishonchlilik oraliqlari tuzishning universal usuli bo`lgan markaziy statistika 
usuli bilan qiqacha tanishib chiqamiz. 
-model absolyut uzluksiz va 
tanlanma va 
𝜃
noma`lum parametrga bog`liq 
bo`lgan
tasodifiy miqdor mavjud bo`lsin. 
Ta`rif.
tasodifiy miqdor 
𝜃 
parameter uchun markaziy statistika 
deyiladi, agar 1)
ning taqsimoti 
𝜃 
ga bog`liq bo`lmasa; 
2) har bir 
uchun 
funksiya
𝜃
bo`yicha uzluksiz va qa`tiy monoton 
bo`lsa. 

---

Faraz qilaylik, 
model uchun 
markaziy statistika qurilgan va
uning zichlik taqsimoti bo`lsin. 
ham
𝜃 
bog`liq bo`lmaydi va har qanday 
uchun
miqdorlarni tanlash mumkinki, 
Endi
sonlarini
𝜃 
ga nisbatan 
, tenglamaning yechimi sifatida aniqlaymiz, bunda,
. 
Bu holda 
tengsizlik
tengsizlikka teng kuchli bo`ladi va
Shunday qilib,
oraliq
𝜃
parametr uchun 
𝛾
ishonchlilik 
oralig`i bo`ladi.
Amaliyotda
larni quyidagi munosabatni qanoatlantiradigan qilib 
tanlash tavsiya qilinadi: 
Agar F(x, 
𝜃
) kuzatilayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo`lsa, 
olsa, bo`ladi, chunki, bu 
holda markaziy statistikaga qo`yilgan barcha shartlar bajariladi. 
Takrorlash uchun savollar. 
1.
Ishonlilik oqalig`I va ishonchlilik ehtimolligi ta`riflarini keltiring? 
2.
Matematik kutilma uchun dispersiya ma`lum bo`lganda ishonchlilik 
oralig’i qanday teoremadan foydalaniladi? 
3.
Matematik kutilma uchun dispersiya ma`lum bo`lganda ishonchlilik 
oralig’ini yozing ? 
4.
Matematik kutilma uchun dispersiya noma`lum bo`lganda 
ishonchlilik oralig’i qanday bo`ladi? 

---

5.
Markaziy statistikaga ta`rif bering? 
6.
Markaziy statistika orqali ishonchlilik oralig`i tuzish jarayonini 
tushuntirib bering?