2-shaxsiy topshiriq. Mаtritsаlаr vа dеtеrminаntlаr nаzаriyasi. Chiziqli tеnglаmаlаr sistеmаsini yеchish

b) Elementar almashtirishlar yordamida teskari matritsani toping:












































1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
2
0
0
0
1
2
14
5
0
6
9
6
0
8
8
1
0
1
4
2
1
)
2
(
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
2
1
3
4
1
2
2
6
0
3
2
1
4
2
1
/
II
E
A





















































1
0
5
7
0
1
6
10
0
0
1
2
0
0
2
3
38
26
0
0
42
39
0
0
8
8
1
0
15
12
0
1
)
2
(
(
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
2
0
0
0
1
2
14
5
0
6
9
6
0
8
8
1
0
1
4
2
1
I










































1
0
5
7
0
39
1
39
6
39
10
0
0
1
2
0
0
2
3
38
26
0
0
39
42
1
0
0
8
8
1
0
15
12
0
1
1
0
5
7
0
1
6
10
0
0
1
2
0
0
2
3
38
26
0
0
42
39
0
0
8
8
1
0
15
12
0
1

---










































10
1
10
1
2
1
390
13
0
39
1
39
6
39
10
0
39
8
39
9
39
2
0
39
12
39
6
39
3
1
0
0
0
39
42
1
0
0
39
24
0
1
0
39
81
0
0
1
1
1
5
39
13
0
39
1
39
6
39
10
0
39
8
39
9
39
2
0
39
12
39
6
39
3
10
0
0
0
39
42
1
0
0
39
24
0
1
0
39
81
0
0
1





















390
39
390
26
390
39
390
13
390
42
390
38
390
18
390
86
390
24
390
96
390
66
390
12
390
81
390
66
390
21
390
57
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
;
Bundan



















39
26
39
13
42
38
18
86
24
96
66
12
81
66
21
57
390
1
1
A
◄ 
3.0-misol.















7
3
3
,
2
3
4
2
,
3
5
z
y
x
z
y
x
z
y
x
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi birgalikda 
ekanligini tekshiring. Agar birgalikda bo‘lsa, uni Kramer formulalari bo‘yicha 
yeching.
 
Yechilishi: ►
Teorema (Kroneker-Kapelli).



















m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
х
a
х
а
х
a
b
х
а
х
а
х
а
b
х
а
х
а
х
а
...
...
...
...
...
...
,
...
,
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun sistemaning 
A
matritsasi 
bilan 
B
kengaytirilgan matritsasining rangi teng bo‘lishi zarur va yetarli. 
Teoremadan kelib chiqadigan natijalar: 
1) 
rangA
rangB

bo‘lsa, tenglamalar sistemasi birgalikda emas; 
2) 
rangA
rangB
r
n

 
bo‘lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega; 
3) 
rangA
rang B
r
n

 
bo‘lsa, tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p yechimga ega. 
Berilgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi birgalikda ekanligini 
tekshiramiz.
 

---
















7
3
3
2
3
4
2
3
5
z
y
x
z
y
x
z
y
x















3
1
3
3
4
2
1
5
1
A















7
-
2
3
3
1
3
3
4
2
1
5
1
B
; 
B
A
r
r

. 
Sistema birgalikda va yagona yechimga ega ekan. 
Kramer formulalari bo‘yicha yechamiz: 
16
3
1
3
3
4
2
1
5
1








;
64
3
1
7
3
4
2
1
5
3








x
.
4
16
64







x
x
;
16
3
7
3
3
2
2
1
3
1








y
.
1
16
16







y
y
;
32
7
1
3
2
4
2
3
5
1





z
.
2
16
32







z
z
Yechim
: (-4; 1; -2) 
 ◄ 
 
4.0-misol. 











4
2
3
2
2
y
x
y
x
y
x
tenglamalar sistemasini eng kichik kvadratlar 
usulida taqribiy yechimini toping. 
 
Yechilishi:
►
B
AX

ning aniq yechimi bo‘lmasa, u holda tenglamaning har 
ikki tomonini
T
A
ga ko‘paytirib, 
B
A
AX
A
T
T

tenglamani hosil qilamiz. Uni 
“eng 
kichik kvadratlar usuli”
da yechib, taqribiy yechimni olish mumkin. Bunda 
A
A
T
- ko‘paytmadan hosil bo‘lgan matritsa kvadrat matritsa bo‘ladi, shundan 
foydalanamiz:
 
B
A
A
A
X
T
T
1


. 











4
2
3
2
2
y
x
y
x
y
x




























4
3
2
2
1
1
1
2
1
y
x
;





























4
3
2
,
,
2
1
1
1
2
1
B
y
x
X
A
;







2
1
1
1
2
1
T
A

---


























6
5
5
6
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
A
A
T
Endi 
 
1

A
A
T
ni hisoblaymiz. Demak,
 












6
5
5
6
11
1
)
(
1
1
A
A
A
A
T
T
 































































11
18
11
7
18
7
11
1
13
12
6
5
5
6
11
1
4
3
2
2
1
1
1
2
1
6
5
5
6
11
1
1
B
A
A
A
X
T
T
Bizning taqribiy yechimimiz 







11
18
11
7
y
x
ga teng chiqdi.
B
AX

tenglamada 
E
B
AX


2
deb belgilaymiz. Eng kichik kvadratlar 
2
B
AX
E


usuli 
X
yechimni imkon qadar kichiklashtiradi, ya’ni 
2
3
2
2
2
1
e
e
e
E



har bir tenglamadagi xatoning kvadratlari yg‘indisi minimal bo‘ladi. 
Shunday qilib, 











4
2
3
2
2
y
x
y
x
y
x
tenglamalar sistemasining eng yaxshi taqribiy yechimi







11
18
11
7
y
x
yoki





64
,
1
64
,
0
y
x
ekan ◄ 
1 - tоpshiriq.
Matritsa rangini topishga doir: 
a)
Ta’rifga ko‘ra matritsa rangini toping; 
b) O‘rab turuvchi minorlar usulida matritsa rangini aniqlang; 
v) Elementar almashtirishlar yordamida matritsa rangini toping. 
1.0.
1
2
1
3
3
1
0 7
2
3
-1
4
A





 





1.1.












14
-
5
3
2
4
6
0
1
5
2
-
6
3
0
2
-
1
1
. 1.2.












1
6
0
2
4
3
3
1
-
2
0
2
-
0
9
-
3
6
1
3
1
-
0
2
. 

---

1.3.












5
14
-
5
3
2
0
4
6
0
1
1
5
2
-
6
3
3
0
2
-
0
2
1.4.












1
6
0
2
4
3
3
1
-
2
0
2
-
0
9
-
3
7
1
3
1
-
1
3
1.5 .












1
6
0
2
4
3
3
1
-
2
0
2
-
0
9
-
0
1
-
1
3
1
-
1
3
-
1.6.












5
14
-
5
3
2
0
4
1
4
1
1
5
2
-
6
0
3
0
2
-
0
5
1.7.












1
6
0
2
4
3
3
1
-
2
10
2
-
0
9
0
1
-
1
3
1
-
12
3
-
1.8.












1
6
0
2
4
3
3
1
2
4
-
2
-
0
9
0
1
-
1
3
1
-
2
-
2
-
1.9.












14
-
5
3
2
1
4
6
0
1
0
5
2
-
6
3
5
0
2
-
1
1
7
1.10.












1
-
5
3
2
1
4
6
0
1
0
5
2
-
6
3
-
2
0
2
-
1
1
1
1.11.












4
-
5
3
2
5
-
4
6
0
1
0
5
2
-
6
3
3
-
0
2
-
1
1
1
-
1.12.












1
-
5
3
2
1
4
6
2
1
0
5
2
6
3
2
0
2
-
1
1
1
1.13.












5
7
-
5
3
2
0
4
6
0
1
-
1
5
6
2
-
3
3
0
2
-
0
2
1.14.












1
6
0
2
4
3
3
1
-
0
1
2
-
0
9
3
7
-
1
3
1
-
1
3
1.15 .












1
6
0
2
4
3
3
1
-
2
0
2
-
0
9
5
1
-
1
3
1
-
6
3
-
1.16.












5
14
-
5
3
2
0
4
1
4
1
1
5
2
-
6
1
3
0
2
-
0
8

1.17.












1
6
0
2
4
3
0
1
-
2
10
2
-
1
9
0
1
-
1
3
1
-
12
13
-
1.18.












1
6
0
2
4
3
3
1
2
2
-
2
-
0
9
0
1
-
1
3
1
-
2
-
6
-

---

1.19.












8
-
5
3
2
1
4
6
0
1
0
5
2
-
6
0
5
0
2
-
1
9
7
1.20.












1
-
5
3
2
1
4
6
0
1
0
5
2
-
6
3
-
2
0
2
1
1
7
1.21.












4
-
5
3
2
5
-
4
6
-
0
10
0
5
2
-
6
3
3
-
0
2
-
1
1
11
-
1.22.












1
-
15
3
2
1
4
-
6
2
1
0
5
2
6
3
2
0
2
-
1
3
9
1.23.












5
7
-
5
3
2
9
4
6
0
1
-
1
5
6
2
-
3
3
0
2
-
1
5
-
1.24.












1
6
0
2
4
3
3
1
-
0
1
2
-
0
9
3
7
-
1
3
1
-
1
3
1.25 .










3
3
1
-
2
0
2
-
0
9
5
1
-
1
3
1
-
6
3
-
1.26.










5
14
-
5
3
2
1
5
2
-
6
1
3
0
2
-
0
8
1.27.










1
6
0
2
4
3
0
1
-
2
10
2
-
1
9
0
1
-
1.28.










1
6
0
2
4
3
3
1
2
2
-
1
3
1
-
2
-
6
-
1.29.












8
-
5
3
2
1
4
6
0
1
0
5
2
-
6
0
5
0
2
-
1
9
0
1.30.












1
-
5
3
2
1
4
6
0
1
0
5
2
-
6
3
-
2
0
2
1
1
0
1.31.
















0
5
7
10
7
2
4
5
7
6
5
2
6
3
5
5
7
6
11
10
3
5
5
8
7
1.32.
















0
5
7
0
7
2
4
5
7
6
5
2
6
3
5
5
7
6
1
0
3
5
5
8
7
1.33.

















0
5
7
10
7
2
4
5
7
-
6
5
2
6
3
-
5
5
7
6
11
-
10
3
5
5
8
-
7
1.34.
















0
5
7
0
7
2
4
5
7
6
5
2
6
3
5
5
-
7
-
6
-
1
-
0
3
5
5
8
7

---