2. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi

2. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi.
Haqiqiy argument - ning qiymatlarda aniqlangan funksiya berilgan bo’lsa (yoki desak, t<0 bo’lganda deb olamiz) va – funksiya chekli sondagi 1 tur uzilishga ega bo’lsin.
Bu funksiya cheksiz intervalda integrallanuvchi bo’lishi uchun

bo’lishi kerak ( ). Endi funksiyaning kompleks funksiyaga ko’paytmasini ko’ramiz. (bunda , )

funksiya haqiqiy argumentning komplekis funksiyasidir, haqiqatdan ham:

Quyidagi hosmas integralni ko’ramiz:

- son funksiyani o’sish ko’rsatkichi deyiladi.
(Shunga o’xshash ikkinchi integralni ham yaqinlashishini ko’rsatish mumkin). Shunday qilib mavjud va - ning biror funksiyasidir; biz uni deb belgilaymiz:
(1)
– funksiya funksiyaning Laplas tasviri yoki 1- tasvir (yoki tasviri) deyiladi. funksiya original funksiya yoki original deyiladi. F(t)- funksiyaning – originalga nisbatan tasvir ekani quyidagicha yoziladi:
yoki yoki
(1) - integralni Laplas almashtirishi deb ham yurutiladi.
Teorema. Agar ikkita va uzluksiz funksiyalar bitta bir xil tasvirga ega bo’lsalar, u holda bu funksiyalar aynan tengdir.
, va funksiyalar tasvirlarini topaylik.

1. 
   - funksiya quyidagicha aniqlangan bo’ladi;
   

Bu funksiya Xevisaydning birlik funksiyasi deyiladi va deb belgilanadi






funksiya tasvirini topamiz:

Demak: yoki
Ba’zan - funksiyani tasviri uchun

ifoda olinadi. Bu holda: demak yoki bo’ladi.

2. 
   
   

IV. Differensial tenglamalarni va tenglamalar sistemasini operasion hisob yordamida yechish.
Teorema 1. Agar bo’lsa u holda

bo’ladi.
Teorema . Agar bo’lsa, u holda bo’ladi.