2-mavzu: Shartli ehtimollik. Hodisalarning bog’liqsizligi. Ehtimolliklarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari. To’la ehtimollik va Bayes teoremasi Reja

2.2-teorema (bog’liq hodisalarning ehtimolliklarini ko’paytirish). Ikkita bog’liq hodisalar ko’paytmasining ehtimolligi ulardan birining ehtimolligining shu hodisa ro’y berdi degan farazda hisoblangan ikkinchi hodisa shartli ehtimolligiga ko’paytmasiga teng:
. (2.4)
3-misol. Yig’uvchida 3 ta konussimon va 7 ta ellipssimon valik bor. Yig’uvchi tavakkaliga avval bitta valikni, so’ngra esa ikkinchi valikni oldi. Birinchi valik konussimon, ikkinchisi esa ellipssimon ekanligining ehtimolligi topilsin.
Уеchish. Birinchi valik konussimon ekanligi (V hodisa)ning ehtimolligi ga teng. Ikkinchi valik ellipssimon ekanligi (A hodisa)ning birinchi valik konussimon degan faraz-da hisoblangan shartli ehtimolligi ga teng.
U holda (3.4) formulaga asosan qidirilayotgan ehtimollik
bo’ladi.
Endi A va V hodisalar bog’liqmas bo’lgan holga o’tamiz va bu hodisalar ko’paytmasining ehtimolligini topamiz.
A hodisa V hodisaga bog’liq bo’lmagani uchun uning shartli ehtimolligi shartsiz ehtimolligiga tengdir, ya’ni
.
Bu yerdan quyidagi teorema kelib chiqadi.
2.3-teorema (bog’liqmas hodisalarning ehtimolliklari-ni ko’paytirish). Ikkita bog’liqmas hodisalar ko’paytmasining ehtimolligi shu hodisalar ehtimolliklarining ko’paytmasiga teng:
. (5)
2.2-natija. Bir nechta bog’liqmas hodisalar ko’paytmasining ehtimolligi shu hodisalar ehtimolliklarining ko’paytmasiga teng:
.
4-misol. 10 tadan detali bor 3 ta yashik mavjud. 1-yashikda 8 ta, 2-yashikda 7 ta va 3-yashikda 9 ta standart detal bor. Har bir yashikdan tavakkaliga bittadan detal olinmoqda. Uchchala olingan detal standart bo’lishining ehtimolligi topilsin.
Уеchish. 1-yashikdan standart detal olinishi (A hodisa)ning ehtimolligi ga teng. 2-yashikdan standart detal olinishi (V hodisa)ning ehtimolligi ga teng. 3-yashikdan standart detal olinishi (S hodisa)ning ehtimolligi ga teng.
A, V va S hodisalar bog’liqmas bo’lgani uchun 2-natijaga asosan qidirilayotgan ehtimollik
ga teng.
Endi A va V hodisalar birgalikda bo’lgan holga o’tamiz va bu hodisalar yig’indisining ehtimolligini topamiz.