2-mavzu: Shartli ehtimollik. Hodisalarning bog’liqsizligi. Ehtimolliklarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari. To’la ehtimollik va Bayes teoremasi Reja

7-misol. Detallarning 2 ta to’plami bor. 1-to’plamdan tavakkaliga olingan detal standart bo’lishining ehtimolligi 0,8 ga, ikkinchisidan olinganniki esa 0,9 ga teng. Tavakkaliga olingan to’plamdan tavakkaliga olingan detalning standart bo’lishi ehtimollligi topilsin.
Уеchish. A orqali «olingan detal standart» hodisasini belgilaylik. Detal yo 1-to’plamdan olinishi mumkin ( hodisa), yo 2-to’plamdan ( hodisa).
Detal 1-to’plamdan olinishining ehtimolligi ga, 2-to’plamdan olinishining ehtimolligi esa ga teng bo’ladi.
Misol shartiga asosan va bo’ladi. U holda qidirilayotgan ehtimollik to’la ehtimollik formulasiga asosan topiladi va quyidagiga teng
.
To’la ehtimollik formulasini keltirib chiqarishdagi hodisalar uchun A hodisa ro’y bergan bo’lsin va gipotezalarning ( ) shartli ehtimolliklarini topish masalasi qo’yilgan bo’lsin.
(2.1) formuladan ga ega bo’lamiz.
So’ngra, (2.4) formuladan quyidagini olamiz
.
To’la ehtimollik formulasini qo’llab, bu yerdan va bundan avvalgi munosabatdan
(9)
Bayes formulasini keltirib chiqaramiz.
8-misol. Zavod tsexida tayyorlanayotgan detallarning standart ekanligini ikkita nazoratchidan biri tekshiradi. Detalning 1-nazoratchiga tushish ehtimolligi 0,6 ga, 2-nazoratchiga tushish ehtimolligi esa 0,4 ga teng. Yaroqli detalning 1-nazoratchi tomonidan standart deb topilishining ehtimolligi 0,94 ga, 2-nazoratchi tomonidan esa 0,98 ga teng bo’lsin. Yaroqli detal tekshiruvda standart deb topildi. Bu detal 1-nazoratchi tomonidan tekshirilganligining ehtimolligi topilsin.
Уеchish. A orqali yaroqli detal standart deb topilishi hodisasini belgilaymiz. Ikkita faraz qilish mumkin

1. 
   detalni 1-nazoratchi tekshirdi ( gipotezasi);
   
2. 
   detalni 2-nazoratchi tekshirdi ( gipotezasi).
   

Misol shartiga asosan quyidagilarga egamiz:
(detalning 1-nazoratchiga tushish ehtimolligi);
(detalning 2-nazoratchiga tushish ehtimolligi);
(yaroqli detalning 1-nazoratchi tomonidan standart deb topilishining ehtimolligi);
(yaroqli detalning 2-nazoratchi tomonidan standart deb topilishining ehtimolligi).
Qidirilayotgan ehtimollikni Bayes formulasi bo’yicha topamiz:

.