2-mavzu. Ehtimollarni qo‘shish va ko‘paytirish teoremalari. Shartli ehtimollik. Hodisalarning bog‘liqsizligi. To’la ehtimollik Bayes formulalari

Javob
: 1) ;
7
6
2) .
7
1
 
 
3-MAVZU. Bernulli formulasi. Muavr –Laplasning Lokal va integrallar 
teoremalari. 
Bernulli formulasi. 
Takrorlanuvchi sinovlarning har birida A hodisaning ro’y berish ehtimolligi boshqa 
sinov natijalariga bog’lik bulmasa, bunday sinovlar A hodisaga nisbatan 
erkli
deyiladi. 

---

Faraz qilaylik, n ta o’zaro erkli takrorlanuvchi sinovlarning har birida A hodisaning 
ro‘y berish ehtimolligi r teng bo‘lsin. U xolda A hodisaning ro’y bermaslik ehtimolligi 
q=1-p ga teng. n ta takrorlanuvchi sinovlarda A hodisaning rosa k marta ro‘y berish 
ehtimolligi Р
n
(k) ni topamiz 
)
(
n
к

. A xodisa bilan belgilanadi va quyidagicha topiladi: 
P
n
(k)=C
k
n
р
k
q
n-k
(3.1) 
yoki 
 


k
n
k
n
q
P
k
n
k
n
k
P



!
!
!
(3.1
1
) 
(3.1) formula Bernulli formulasi deyiladi. 
Eslatma. Erkli sinovlar ketma-ketligida xodisaning ro‘y berishlar soni m bo‘lsin. 
U holda, 
a) hodisaning k dan kam marta ro‘y berish ehtimoli 
)
(
)
1
0
(
1
0
m
P
k
m
Р
n
k
m
n







b) hodisaning kamida k marta ro‘y berish ehtimoli 
)
(
)
(
m
P
n
m
k
Р
n
n
k
m
n





v) hodisaning ko‘pi bilan k marta ro‘y berish ehtimoli 
)
(
)
0
(
0
m
P
k
m
Р
n
k
m
n





Muavr-Laplasning limitik teoremasi.
Agar sinovlar soni yetarlicha katta bo'lsa, u 
holda Bernulli formulasini qo‘llash anchagina murakkablikka olib keladi. Bunday holda 
quyidagi Muavr-Laplasning limiti teoremalaridan foydalaniladi. 
Muavr-Laplasning lokal teoremasi.
Agar har bir sinovda A hodisaning ro’y 
berishehtimolligi r ga teng bo‘lsa, u holda yetarlicha katta n lar uchun
 
 
x
npq
к
Р
n

1

(3.2) 
Taqribiy formula o'rinli. 
bu yerda
 
2
2
2
1
x
e
x




,
npq
np
к
x


(3.3) 
Muavr-Laplasning integral teoremasi.
Agar n ta bog’liqmas sinovlarning har birida 
A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi r ga teng bo‘lsa, u holda hodisaning k1 tadan k2 
tagacha ro‘y berish ehtimolligi 

    
1
2
2
1
x
Ф
x
Ф
к
к
к
P
n




(3.4) 
ga teng, bu yerda 
 
dt
e
x
Ф
x
t



0
2
2
2
1

(3.5) 
npq
np
к
x


1
1
, 
npq
np
к
x


2
2

---

Izoh1.
Sinovlar soni qanchalik katta bo‘lsa, (3.2) va (3.4) formulalar shunchalik aniqrok 
qiymatni beradi. 
Izoh 2.

(
х
) va 
Ф
(
х
) funksiyalar uchun qiymatlar jadvali mavjud va ular faqat 
argumentning musbat qiymatlari uchun berilgan, chunki

(
х
)= 

(
х
), 

(-
х
)=- 

(
х
) 
Puasson asimptotik formulasi. 
Har bir sinovda A hodisaning ro‘y berish ehtimoli 
r ga teng bo‘lgan n ta erkli sinov o‘tkazilayotgan bo‘lsin. Bu sinovlarda A hodisaning 
rosa k marta ro‘y berish ehtimolini topish uchun Bernulli formulasidan, agarda n 
(sinovlar soni) katta bo‘lsa Laplasning asimptotik formulasidan (limitik teoremasidan) 
foydalaniladi. Ammo, hodisaning ehtimoli juda kichik 
)
1
,
0
(

Р
bo‘lsa, bu formulalar 
yaroqli emas. Bunday hollarda (
n
katta, р, kichik) Puasson asimptotik formulasi 
qo’llaniladi. 
Har bir sinovda hodisaning ro‘y berish ehtimoli r juda kichik bo‘lgan ko‘p (
n
katta) sinovlarda hodisaning rosa k marta ro‘y berish ehtimoli
!
)
(
k
e
k
Р
k
n




(3.6) 
formula bilan topiladi, bunda 
np


(3.6)-Puasson asimptotik formulasi deyiladi.