2-боб. ТЎпламлар ва муносабатлар

Акслантиришлар

Математиканинг асосий тушунчаларидан бири акслантириш (функция ) тушунчаси ҳисобланади.
3.3.1. Таъриф. А ва В тўпламлар ихтиёрий,бўш бўлмаган тўпламлар бўлсин. А тўпламни В тўпламга акслантириш деб, А тўпламни ҳар бир элементига, В тўпламнинг аниқ битта элементини мос қўядиган ҳар қандай f қонунга (қоидага) айтилади.
А тўпламни В тўпламга f қоида бўйича, акслантирилганлигини,
f: АВ ёки А В кўринишларда ифодалайдилар.
f акслантиришда А тўпламнинг а элементига В тўпламнинг b элементи f акслантиришга нисбатан образи(акси), а элементга эса b элементни f акслантиришга нисбатан прообрази(асли) дейилиб, бу муносабатни f(a)= b кўринишда ёзилади.
Таърифга биноан f: АВ акслантиришда А тўпламнинг ҳар бир элементига В тўпламнинг битта ва фақат битта элементи мос келар экан. Аммо бунда В тўпламнинг элементларига шарт қўйилмаяпти , шунинг учун ҳам В тўпламнинг ҳар бир элементига прообраз мавжуд бўлмаслиги ҳам, битта ёки бир нечта , ҳатто чексиз кўп бўлиши ҳам мумкин.
В тўпламдаги b элементнинг f акслантиришга нисбатан барча прообразлари тўпламини унинг тўлиқ прообрази дейилиб, уни f^-1(b) кўринишда белгиланади . Шундай қилиб,
f^-1(b)={ a | aA , f(a)=b}
А тўпламни В тўпламга акслантиpувчи f акслантиришни аниқланиш соҳаси А тўпламдан, қийматлар соҳаси В тўпламда бўлган функция ҳам дейилади. Бунда f(a) элементни f функциянинг а элементдаги қиймати, f(a)=b тенгликни қаноатлантирадиган  а,b кўринишдаги барча, бунда
а А, b B, жуфтликлар тўпламини эса шу функциянинг ёки акслантиришнинг графиги дейилади.
Ҳақиқий сонлар R тўпламини R тўпламга акслантирувчи, y=x² формула билан аниқланадиган функцияни қарайлик. Равшанки, бу функцияни графиги, декарт координаталар текислигида барча x,x²  жуфтликлар тўпламидан иборат бўлиб, қуйида шакли келтирилган параболадан иборатдир.




Изоҳ. Юқоридаги келтирилган акслантиришнинг таърифи деярли барча адабиётларда таъриф сифатида келтирилсада, математик нуқтаи назарда қатъий ҳисобланмайди, чунки унда таърифланмаган «қонун» тушунчаси қатнашган. Шу боисдан, функция (акслантириш) ҳақидаги ҳар қандай маълумот унинг графигида намоён бўлгани учун, функция ва унинг графигини фарқлашни зарурати бўлмай, функциянинг(акслантиришнинг) қатъий таърифини одатда функцияни графиги учунгина хос бўлган тартибланган жуфтликларнинг характеристикасидан келиб чиқиб аниқлайдилар. Бунда f : АВ акслантириш (функция) худди АxВ кўпайтманинг ҳар бир а А элементи учун ягона биринчи элементи а элементга тенг бўлган барча тартибланган жуфтликлардан тузилган қисм тўплам, бинар муносабат сифатида аниқланади.Шундай қилиб,f акслантириш (функция) таърифини қуйидагича ҳам талқин қилиш мумкин.
Агар А ва В тўпламлар элементлари орасида аниқланган f бинар муносабат учун ихтиёрий  x, y  ва  x, z  жуфтликларнинг f тўпламга тегишли бўлишидан y=z эканлиги келиб чиқса, у ҳолда f бинар муносабатни функция (акслантириш) дейилади.Бу нарса f бинар муносабатнинг аниқланиш соҳасидан олинган хар бир х учун унинг қийматлар соҳасидан  х,у f бўладиган ягона у элемент мавжудлигини кўрсатади.Бу ягона у элемент f (x) кўринишда белгиланади ва f функциянинг х аргументи бўйича қиймати дейилади.Агар  х,у f бўлса, у холда уни у= f (x) кўринишда ёзилади.Шундай қилиб, функция бинар муносабатнинг хусусий ҳоли экан, шунинг учун ҳам функциянинг аниқланиш сохаси, мос равишда худди бинар муносабатнинг аниқланиш (Dom f) ва ўзгариш (Im f) сохасининг ўзгинасидан иборат бўлади, яъни
Domf={xן у( х,у f ) },
Imf={ уןx( х,у f ) }.
Акслантириш ҳақидаги тасаввуримизни яна ҳам бойитадиган, уни яққол тасвирлайдиган қуйидаги усулни қайд этиб ўтиш мақсадга мувофиқдир. Айтайлик f : АВ акслантириш берилган бўлсин. А ва В тўпламларни иккита текисликнинг нуқталар тўплами сифатида тасвирлайлик. Агар x, yf ўринли бўлса х нуқтани у нуқта билан стрелка ёрдамида бирлаштирамиз. Акслантиришни бундай тасвирлашда А тўпламга мос қўйилган текислик нуқталарининг ҳар биридан албатта битта стрелка чиқиб, унинг учи ўша нуқтага В тўпламга мос қўйилган текислик нуқталаридан қайси нуқта мос қўйилган бўлса ўшанга бориб қадалади. Хосил бўлган текисликдаги шакл f : АВ акслантиришнинг графиги дейилади.
Масалан, А={a, b, c, d, e} ва В={x, y, z, u} тўпламлар берилиб, f акслантириш f(a)=y, f(b)=y, f(c)=z, f(d)=z, f(e)=u тенгликлар ёрдамида аниқланган бўлса, у ҳолда бу акслантиришнинг графиги қуйидагича ифодаланади

Бунда f^-1(x)=, f^-1(y)={ a, b }, f^-1(z)={ c, d }, f^-1(u)={e}, f(A)={ y, z, u }.

Баъзан акслантиришни иккита йўлдан иборат жадвал ёрдамида бериш
ўнғайдир. Биринчи йўлга иҳтиёрий кетма-кетликда А тўпламнинг барча элементлари, остларига (иккинчи йўлга) эса мос равишда В тўпламдаги ўша элементларни образларини ёзиб чиқилади, сўнг иккинчи йўлнинг давомига (агар мавжуд бўлса) тўпламнинг барча прообразлари мавжуд бўлмаган элементлари ёзилади.