2. 5-§. Interpolyatsion ko'phadlarning qoldiq hadi bahosini minimallashtirish masalasi. Chebishev ko‘phadlari

Yakobi ko‘phadlari. Quyidagi
P'"W (X) - - X)-" (1 + x)^ ~ | (1 - хГ"(1 + x f " ]
2 n>. ax L J
ko‘phadlar Yakobi ко ‘phadlari deyiladi. Lilar [—1,1] oraliqda p(x) = (1 - x)u (1 + x)p vazn funksiya bilan ortogonal ko‘phadlar sistemasini tashkil etadi.
I Haming normalari:
UI ar uchun quyidagi rekurrcnt formula o‘rinli: (a + p + 2«)(a + p + 2n + l)(a + p + 2n + 2
Lcjandr ко11 ph ad lari. Yakobi ko^hadlarining a = p = 0 va /»(i) 1 bo‘lgandagi xususiy holi Lejandr ko'phadlari deb yuritiladi vii u I ar Rodriga formulas!
I-,M =
1 d"
2'ntdx"
(X 2 - 1)"
bilan aniqlanadi. Ularning normalari
bo‘lib, rekurrent munosabat esa (« + 1)£„+i(x )= (2w + l)- x ‘ Ln(x ) ~ n L n-i(x ) dan iborat.
Chebishevning birinchi tur ko‘phadlari. Ular quyidagicha
aniqlanib [-1,1] oraliqda p(x) = ( l - vazn bi lan ortogonal ko‘phadlar sistemasini tashkil etadi. Bu ko‘phadning normasi
agar n > 0 bo*Isa.
2
formula bilan ifodalanadi.
J-dx- 2
n, agar n - 0 bo’Isa.
ga teng. Rekurrent munosabat esa
formula bilan aniqlanadi.
[-1,1] da p(x) = (1- x2 ) 2 vaznda kvadrati bilan integrallanuvchi /(x ) funksiya uchun Chebishevning birinchi tur ko‘phadlari yordamida topilishi lozim bo‘lgan eng yaxshi yaqinlashuvchi ko‘phadning koeffitsiyentlari quyidagi formulalar bilan
*=o
aniqlanadi:
Eng kichik og‘ish esa
formula bilan ifodalanadi.
Chebishevning ikkinchi tur ko‘phadlari. Bu ko'phad | l,l| oraliqda p(x) = \h — x² vazn bilan ortogonal ko‘phadlar sislc- inasini tashkii etadivau
_ sin(/7+l)arccosjc _ T_n^(x) „ _ q i о
■ 7i-? ⁿ⁺¹ ’ ' ’
formula bilan aniqlanadi. Uning normasi
ga teng bo‘lib, rekurrent munosabat
л (x) = -«„_,(%)
dan iboratdir.
[-1,1] oraliqda pfxj-yjl—x² vaznda kvadrati bilan integral- lanuvchi f(x) funksiya uchun Chebishevning ikkinchi tur ko‘phadlari yordamida tuzilgan eng yaxshi yaqinlashuvchi ko‘phadning kocf- lil siyentlari
a_k=— [/(cosO)sinOsin(£ +1)0^0, к = ⁷¹
formula bilan hisoblanib, eng kichik og‘ish miqdori csa
\’ = J f (x)- E a_ku_k(x)i] \l\-x²dx = j-x² f²(x)dx - У af
-1 ft=O 'J -1 ^ZA=0
formula bilan aniqlanadi.