2 – Ma`ruza Mavzu: Algebraning sonli usullari

2 – Ma`ruza
2. Mavzu: Algebraning sonli usullari.
Chizikdi algebraik tenglamalar sistemasi (ChATS)ni yechishning aniq usullari. Teskari matritsani topish.


Asosiy tushunchalar: CHiziqli algebra masalalari, uch diagonalli sistemani echish, progonka (haydash ) usuli , usulning dasturi,.
Asosiy natijalar::
1. CHiziqli algebra masalalari:
.
2. Uch diagonalli sistemani echish:


3. Progonka usulining dasturi


1. CHiziqli algebra masalalari
Ushbu chiziqli tenglamalar sistemasini qaraymiz:
(1)
Bu sistemani ushbu vektorlar,matritsa

kiritib qisqa ko‘rinishda ezamiz:
. (2)
Algebradan ma’lumki, bu erda quyidagi hollar bo‘lishi mumkin:
1) , sistema yagona echimga ega: yoki Kramer formulalariga asosan , bu -matritsa A dan i-ustun bilan farq qiladi, unda o‘ng tomon joylashgan, bu erda - teskari matritsa ;
2) , bu erning o‘zida ikkita hol bo‘lishi mumkin:
a ) ,
bo‘lsa bu sistema birgalikda, aks holda ya’ni
b)
bo‘lsa, bu sistema echimga ega emas. Bu fikrlar chiziqli almashtirishlar yordamida hosil qilinadigan va doimiy to‘g‘ri bo‘lgan ushbu ayniyatlardan kelib chiqadi:
.
shartlarni qanoatlantiruvchi -vektor xos vektor, -son xos son deyiladi. (1) sistemaning echimini topish, xos son, xos vektorlarni topish masalalari chiziqli algebra masalalari deyiladi.
2. Uch diagonalli sistemani echish. Bu masalalar amalda juda ko‘p uchraydi, hatto shu kursning o‘zida bir necha bor ishlatiladi. Quyidagi
(3)
ko‘rinishdagi sitema uch diagonalli sistema deyiladi. Bu sistema haydash (progonka) usuli (I.M.Gelьfand, O.V.Lokutsievskiy-1953y.) bilan echiladi. Ravshanki, echimlar orasida
(4)
bog‘lanish bor(0- tenglama uchun bu aniq, ni 1-siga qo‘yamiz va hokazo). Demak,

Bu tenglikdan foydalanib (3) ni o‘zgartiramiz:

Oxirgi tenglikni (4) bilan solishtirib
(5)
tengliklarni olamiz. Ularni uchun kengaytiramiz.
(3) ning 0-chisidan
(6)
(5), (6) dan bo‘lishi kerakligini topamiz. (4) dan va (3) ning oxirgisidan

ni yo‘qotsak,
.
ni topamiz. Demak,
(7)
(8)